Problema con esercizio sul carattere di una serie
Salve,
nel preparare l'esame di Analisi 1 sono incorso in questo esercizio:
Determinare il carattere della seguente serie al variare di α ∈ R di:
Sommatoria per k da 1 a +infinito di 1/(sin(k)+k)^(3-2α)
Per sostituzione di k=1 nel primo termine della serie verifico che il valore è sempre >0, pertanto la serie è a termini positivi.
Il mio problema sorge proprio a questo punto, nel calcolo del limite, e chiedo il vostro aiuto in merito.
(Mi scuso per la scrittura poco formale della serie, ma non sono pratico del forum)
nel preparare l'esame di Analisi 1 sono incorso in questo esercizio:
Determinare il carattere della seguente serie al variare di α ∈ R di:
Sommatoria per k da 1 a +infinito di 1/(sin(k)+k)^(3-2α)
Per sostituzione di k=1 nel primo termine della serie verifico che il valore è sempre >0, pertanto la serie è a termini positivi.
Il mio problema sorge proprio a questo punto, nel calcolo del limite, e chiedo il vostro aiuto in merito.
(Mi scuso per la scrittura poco formale della serie, ma non sono pratico del forum)
Risposte
È questa?
\[ \sum_{k =1}^{+\infty} \frac{ 1}{\left (\sin (k) + k \right )^{3 - 2\alpha }} \]
\[ \sum_{k =1}^{+\infty} \frac{ 1}{\left (\sin (k) + k \right )^{3 - 2\alpha }} \]
"Berationalgetreal":
È questa?
\[ \sum_{k =1}^{+\infty} \frac{ 1}{\left (\sin (k) + k \right )^{3 - 2\alpha }} \]
Esatto @Berationalgetreal , grazie mille
Per il calcolo del limite, che serve a verificare che sia soddisfatta la condizione necessaria di convergenza, tieni conto che \( \sin(k) \) è limitata.
"Berationalgetreal":
Per il calcolo del limite, che serve a verificare che sia soddisfatta la condizione necessaria di convergenza, tieni conto che \( \sin(k) \) è limitata.
Ok ok, quindi io so che \( \sin(k) \) varia tra -1 e 1, ma non so come applicare questa nozione nel calcolo del limite
\[ \lim_{k \to + \infty } { \frac{1}{\big ( \sin (k) + k \big )^{3 - 2\alpha } }} = \lim_{k \to + \infty} {\big ( \sin(k)+ k \big )^{-3 + 2\alpha}} = \begin{cases} 0, & \alpha < \frac{3}{2} \\ 1, & \alpha = \frac{3}{2} \\ + \infty , & \alpha > \frac{3}{2} \end{cases} \]
Il fatto che \( \sin (k) \) sia limitato serve a garantire che \( \displaystyle \lim_{k \to + \infty} {\big ( k + \sin(k) \big) } \) non sia una forma indeterminata.
Il fatto che \( \sin (k) \) sia limitato serve a garantire che \( \displaystyle \lim_{k \to + \infty} {\big ( k + \sin(k) \big) } \) non sia una forma indeterminata.
"Berationalgetreal":
\[ \lim_{k \to + \infty } { \frac{1}{\big ( \sin (k) + k \big )^{3 - 2\alpha } }} = \lim_{k \to + \infty} {\big ( \sin(k)+ k \big )^{-3 + 2\alpha}} = \begin{cases} 0, & \alpha < \frac{3}{2} \\ 1, & \alpha = \frac{3}{2} \\ + \infty , & \alpha > \frac{3}{2} \end{cases} \]
Il fatto che \( \sin (k) \) sia limitato serve a garantire che \( \displaystyle \lim_{k \to + \infty} {\big ( k + \sin(k) \big) } \) non sia una forma indeterminata.
Ok, quindi per \( \alpha < \frac{3}{2} \) il limite vale 0, e quindi la condizione necessaria per la convergenza è soddisfatta.
A questo punto posso, in questo caso, passare all'utilizzo del criterio della radice per trovare i valori di \(\alpha \) per cui la serie diverge o converge (poichè a termini positivi non può oscillare).
Qui sotto ho linkato la soluzione del professore. Non riesco a capire in che modo sia stato raggiunto il risultato:
\(k(1+o(1))\)
http://imageshack.com/a/img923/191/KE71ih.jpg
Ha semplicemente usato il confronto asintotico:
\[ \lim_{k \to + \infty} { \frac{ k^{3 -2\alpha }}{\big ( \sin(k) + k \big )^{3 - 2\alpha } } } = 1 \]
Quindi, quella serie converge quando converge la serie armonica di grado \( 3 -2\alpha \), ovvero per \( 3 - 2\alpha > 1 \implies \alpha < 1 \).
\[ \lim_{k \to + \infty} { \frac{ k^{3 -2\alpha }}{\big ( \sin(k) + k \big )^{3 - 2\alpha } } } = 1 \]
Quindi, quella serie converge quando converge la serie armonica di grado \( 3 -2\alpha \), ovvero per \( 3 - 2\alpha > 1 \implies \alpha < 1 \).
"Berationalgetreal":
Ha semplicemente usato il confronto asintotico:
\[ \lim_{k \to + \infty} { \frac{ k^{3 -2\alpha }}{\big ( \sin(k) + k \big )^{3 - 2\alpha } } } = 1 \]
Quindi, quella serie converge quando converge la serie armonica di grado \( 3 -2\alpha \), ovvero per \( 3 - 2\alpha > 1 \implies \alpha < 1 \).
Perdonami, probabilmente è l'orario un po tardo che mi rallenta
, ma posso chiederti di spiegarmi il passaggio fino all'utilizzo dell'o-piccolo\( k(1+{ \frac{sin(k)}{k} }) \) \(= k(1+o(1) \)
( io ipotizzo sia opportuno utilizzare la scrittura di \(sin(k)\) con i polinomi di Taylor, quindi \(sin(k) ∼ k+o(k)\) ma non capisco quali siano le semplificazioni fatte per per arrivare a \(k(1+o(1))\) )
Il discorso della convergenza quando converge la serie armonica di grado \( 3 -2\alpha \), ovvero per \( 3 - 2\alpha > 1 \implies \alpha < 1 \) è chiaro.
grazie mille
Non serve mettere in mezzo Taylor; tra l'altro, \( k \to + \infty \), e non a \(0\). Quello che citi è lo sviluppo del seno in un intorno di \( 0 \). Quella notazione sta semplicemente a significare che \( k + \sin (k) \) è uguale, per \( k \to + \infty \), a \(k \) più un termine infinitesimo (un \( \text{o} (1) \)). È un modo più formale di dire che l'unico termine che conta all'infinito in quella successione è \( k \).
"Berationalgetreal":
Non serve mettere in mezzo Taylor; tra l'altro, \( k \to + \infty \), e non a \(0\). Quello che citi è lo sviluppo del seno in un intorno di \( 0 \). Quella notazione sta semplicemente a significare che \( k + \sin (k) \) è uguale, per \( k \to + \infty \), a \(k \) più un termine infinitesimo (un \( \text{o} (1) \)). È un modo più formale di dire che l'unico termine che conta all'infinito in quella successione è \( k \).
Grazie mille, mi hai risolto almeno 3 dubbi con una sola risposta!
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