Problema con esercizio sul carattere di una integrale
Salve ragazzi,
mi trovo ad affrontare il seguente esercizio: determinare per quali $α ∈ ℜ$ il seguente integrale improprio converge:
Integrale tra 0 e 1 di $dx/(x^(2α)(1-x)^(3-5α))$
vedo che il dominio è $D = ℜ- (0,1)$
ma essendo 0 e 1 proprio i due estremi di integrazione, non so come muovermi
.
Vi ringrazio in anticipo!
mi trovo ad affrontare il seguente esercizio: determinare per quali $α ∈ ℜ$ il seguente integrale improprio converge:
Integrale tra 0 e 1 di $dx/(x^(2α)(1-x)^(3-5α))$
vedo che il dominio è $D = ℜ- (0,1)$
ma essendo 0 e 1 proprio i due estremi di integrazione, non so come muovermi
.Vi ringrazio in anticipo!
Risposte
Il dominio è
$\mathbb{D} = \mathbb{R} \setminus {0,1} $
Considera che
1. Per $\beta \in \mathbb{R}^{+}$ l'integrale improprio
$I= \int_{0}^{\beta} t^{\alpha}dt$
converge se e solo se $\alpha > -1$.
2. Per $a,b,c \in \mathbb{R} ,\ a
$\int_{a}^{c} f(x) dx = \int_{a}^{b} f(x)dx + \int_{b}^{c} f(x)dx$
Che conclusioni puoi trarne?
$\mathbb{D} = \mathbb{R} \setminus {0,1} $
Considera che
1. Per $\beta \in \mathbb{R}^{+}$ l'integrale improprio
$I= \int_{0}^{\beta} t^{\alpha}dt$
converge se e solo se $\alpha > -1$.
2. Per $a,b,c \in \mathbb{R} ,\ a
$\int_{a}^{c} f(x) dx = \int_{a}^{b} f(x)dx + \int_{b}^{c} f(x)dx$
Che conclusioni puoi trarne?
$ α ∈ ℜ $$ \int_{a}^{c} f(x) dx = \int_{a}^{b} f(x)dx + \int_{b}^{c} f(x)dx $
Non so come prendere il nuovo estremo di integrazione b, ma
deduco che se convergono i due integrali in cui ho "spezzato" l'integrale di partenza, allora converge anche lui, sotto le 2 condizioni relative ad α che determino calcolando i 2 "integralini" separatamente.
Credo sia opportuno calcolare 2 limiti: nell'intorno destro di 0 e sinistro di 1
lim per x->0+ del primo integrale, vale $1/x^(2α) $ in quanto
per x->o+
Non so come prendere il nuovo estremo di integrazione b, ma
deduco che se convergono i due integrali in cui ho "spezzato" l'integrale di partenza, allora converge anche lui, sotto le 2 condizioni relative ad α che determino calcolando i 2 "integralini" separatamente.
Credo sia opportuno calcolare 2 limiti: nell'intorno destro di 0 e sinistro di 1
lim per x->0+ del primo integrale, vale $1/x^(2α) $ in quanto
per x->o+
- $x$ equivale ad un valore piccolissimo, quasi 0, ma comunque $>0$. Quindi $x^(2α)$ "sopravvive"[/list:u:1pwp6v3p]
e
- $(1-x)$ equivale ad un valore poco poco poco più piccolo di 1, quindi: $(1-x)^(3-5α)$ vale circa 1[/list:u:1pwp6v3p]
converge per $α<1$ quindi converge se $α<1/2$
lim per x->1- del secondo integrale, vale $1/(1-x)^(3-5α)$ in quanto
per x->1-
- $x$ equivale ad un valore poco poco poco più piccolo di 1, quindi: $x^(2α)$ vale circa 1.[/list:u:1pwp6v3p]
e
- $(1-x)$ equivale ad un valore piccolissimo, quasi 0, ma comunque $>0$, quindi $(1-x)^(3-5α)$ "sopravvive"[/list:u:1pwp6v3p]
converge per $α<1$ quindi converge se $3-5α<1$ cioè $α>2/5$
L'integrale di partenza converge per $α ∈ (2/5,1/2)$
Perfetto!
1. L'integrale puoi spezzarlo come $\int_{0}^{b} f(x) dx + \int_{b}^{1} f(x) dx $ con $0
2. I discorsi che fai del tipo "vale circa", "è molto vicino a " sono corretti ma si possono formalizzare con il concetto di asintotico, ovvero
Per $x \to 0^{+}$
$$ f(x) \sim \frac{1}{x^{2\alpha}}$$
Per $x \to 1^{-}$
$$ f(x) \sim \frac{1}{(1-x)^{3-5\alpha}}$$
E' invece scorretto dire che
Infatti il limite vale $+\infty$ e non una funzione.
1. L'integrale puoi spezzarlo come $\int_{0}^{b} f(x) dx + \int_{b}^{1} f(x) dx $ con $0
2. I discorsi che fai del tipo "vale circa", "è molto vicino a " sono corretti ma si possono formalizzare con il concetto di asintotico, ovvero
Per $x \to 0^{+}$
$$ f(x) \sim \frac{1}{x^{2\alpha}}$$
Per $x \to 1^{-}$
$$ f(x) \sim \frac{1}{(1-x)^{3-5\alpha}}$$
E' invece scorretto dire che
"AndreaMister":
lim per x->0+ del primo integrale, vale $ 1/x^(2α) $
Infatti il limite vale $+\infty$ e non una funzione.
Ok!
Quindi diciamo che l'esercizio in soldoni consiste in:
Calcolo il dominio
Se uno dei valori esclusi dal dominio é proprio uno degli estremi di integrazione vado a calcolare il limite di $f(x)$ per x che tende a quel valore facendo tutte le stime asintotiche possibili oppure all'occorrenza ricorrendo a Taylor, arrivo ad una nuova funzione tale che
\[ f(x) \sim \frac{1}{x^{\alpha}} \]
La nuova funzione:
Quindi diciamo che l'esercizio in soldoni consiste in:
Calcolo il dominio
Se uno dei valori esclusi dal dominio é proprio uno degli estremi di integrazione vado a calcolare il limite di $f(x)$ per x che tende a quel valore facendo tutte le stime asintotiche possibili oppure all'occorrenza ricorrendo a Taylor, arrivo ad una nuova funzione tale che
\[ f(x) \sim \frac{1}{x^{\alpha}} \]
La nuova funzione:
- converge per α<1 o α=1[/list:u:1z5r0m21]
- diverge per α>1[/list:u:1z5r0m21]
e quindi il suo carattere equivale al carattere dell'integrale di partenza.
A grandi linee é corretto?
A parte qualche imprecisione (ma credo più linguistico-tecnica che sostanziale) è corretto. Voglio dire:
Limitandosi al caso di integrali su intervalli finiti e posto che la funzione sia integrabile su tale intervallo, esclusi al più "tot" punti dove la funzione ha asintoti verticali bisogna:
1. Spezzare l'integrale in più integrali in modo che per ogni integrale solo uno dei due estremi di integrazione sia tale che ivi la funzione ha un asintoto verticale.
2. Calcolarsi la stima asintotica della funzione per ognuno di questi punti e usare il criterio che hai correttamente citato.
Se tutti gli integrali convergono allora anche l'integrale "grande" di partenza converge.
Sono sicuro che non intendi questo:
$\int_{-7}^{3} x\log(x) dx$
allora, essendo il dominio $\mathbb{D}= (0, +\infty)$, mi calcolo il limite in $-7$ (che comunque è un punto escluso dal dominio).
Questo non avrebbe senso, anzi proprio l'integrale che ho scritto non ha senso. Per dire che sono sicuro non intendessi "uno dei valori esclusi dal dominio" ma "uno dei valori di frontiera del dominio".
Ultima precisazione, non è necessario calcolarsi la stima asintotica in punti di frontiera del dominio (se appartengono all'intervallo di integrazione) se il limite della funzione in quei punti non è infinito. Prova a guardare l'integrale che ho scritto tra 0 e 7 ad esempio...
Spero sia chiaro.
Limitandosi al caso di integrali su intervalli finiti e posto che la funzione sia integrabile su tale intervallo, esclusi al più "tot" punti dove la funzione ha asintoti verticali bisogna:
1. Spezzare l'integrale in più integrali in modo che per ogni integrale solo uno dei due estremi di integrazione sia tale che ivi la funzione ha un asintoto verticale.
2. Calcolarsi la stima asintotica della funzione per ognuno di questi punti e usare il criterio che hai correttamente citato.
Se tutti gli integrali convergono allora anche l'integrale "grande" di partenza converge.
"AndreaMister":
Se uno dei valori esclusi dal dominio é proprio uno degli estremi di integrazione
Sono sicuro che non intendi questo:
$\int_{-7}^{3} x\log(x) dx$
allora, essendo il dominio $\mathbb{D}= (0, +\infty)$, mi calcolo il limite in $-7$ (che comunque è un punto escluso dal dominio).
Questo non avrebbe senso, anzi proprio l'integrale che ho scritto non ha senso. Per dire che sono sicuro non intendessi "uno dei valori esclusi dal dominio" ma "uno dei valori di frontiera del dominio".
Ultima precisazione, non è necessario calcolarsi la stima asintotica in punti di frontiera del dominio (se appartengono all'intervallo di integrazione) se il limite della funzione in quei punti non è infinito. Prova a guardare l'integrale che ho scritto tra 0 e 7 ad esempio...
Spero sia chiaro.
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