Problema con equazioni differenziali

[poppilop]

Salve, stavo svolgendo tale esercizio

$4(x-2)y^3 y' = 1; y(1) = -1$

Dovrebbe essere una equazione a variabili separabili, perciò

$y' = 1/(4(x-2)y^3$

$a(x) = 1/4(x-2)$
$b(y) = 1/y^3$
le quali sono rispettivamente continua e derivabili in un intorno di $x=1$

Separando le variabili e integrando otterrei

$y(x)^4 = ln(x - 2) + c$

Provando a determinare la costante

$1 = ln(1 - 2) + c$

Ma il logaritmo non e' definito, dunque avevo pensato di metterci il modulo, cioè di considerare come intervallo su cui lavorare per $a(x)$ $(-oo;2)$, mentre per la $b(y)$ $(-oo;0)$ così da rispettare anche la condizione di Cauchy. Che ne dite?

[mazzarri1]

ciao poppilop

$4y^3 y'=1/(x-2)$

$4y^3 dy=1/(x-2)dx$

$4 int y^3 dy=int 1/(x-2)dx$

$y^4= ln |x-2| +c$

adesso applichi la condizione iniziale

$1= ln |-1| +c$

$c=1$

$y^4= ln |x-2| +1$

$y=root(4) (ln|x-2|+1)$

hai sbagliato a risolvere l'integrale al secondo membro, è il modulo di $x-2$

ciao!

[poppilop]

Grazie mille!

[gugo82]

@mrmazzarri: La soluzione che hai scritto non può in alcun modo soddisfare la condizione iniziale!!!

@ poppilop:
Un modo per levarsi di torno il problema dei valori assoluti potrebbe essere quello di farsi uno studio qualitativo della soluzione prima di integrare la EDO.

"poppilop":\[
\begin{cases}
4(x-2)\ y^3(x) y^\prime (x) = 1 \\
y(1) = -1
\end{cases}
\]

Chiaramente la soluzione è definita in un intervallo contenuto in \(\mathbb{R}\setminus \{2\} =]-\infty, 2[\cup ]2,\infty[\) (perché $x=2$ annulla il coefficiente di \(y^\prime\) e dunque la EDO non può essere soddisfatta dal alcuna funzione $y(x)$ definita nel punto $x=2$); dato che il punto iniziale $1$ è in $]-\infty , 2[$, l'intervallo massimale $I$ di definizione della soluzione del PdC deve essere contenuto in $]-\infty, 2[$, cosicché $x<2$ per $x\in I$.

D'altra parte, la soluzione $y(x)$ non deve annullarsi mai in $I$ (poiché $y=0$ annulla il coefficiente di \(y^\prime\) e dunque la EDO non può essere soddisfatta da alcuna funzione $y(x)$ che si annulli nel proprio insieme di definizione); dato che la soluzione di un PdC è continua nell'intervallo di definizione, il fatto che essa non possa mai annullarsi implica che $y(x)$ non può prendere mai valori di segni opposti in $I$ (ché altrimenti scatterebbe il teorema degli zeri!).
Infine, dato che la condizione iniziale $y(1)=-1$ implica che $y(x)$ assume un valore negativo, è ovvio che la soluzione del PdC deve assumere tutti valori negativi nel proprio intervallo di definizione $I$.

Inoltre, dato che la EDO prescrive \(4(x-2)\ y^3(x)\ y^\prime (x)=1>0\) e che $x-2<0$ ed $y(x)<0$ in $I$, è evidente che \(y^\prime (x) > 0 \) in $I$, sicché la soluzione è strettamente crescente nel proprio intervallo di definizione $I$.

Ora, usando la funzione integrale riusciamo a scrivere:
\[
\int_1^x 4y^3(x)\ y^\prime (x)\ \text{d} x = \int_1^x \frac{1}{x-2}\ \text{d} x
\]
per $x\in I$, con $I\subseteq ]-\infty ,2[$; tenendo presenti gli integrali fondamentali dalla precedente traiamo:
\[
y^4(x) - y^4(1) = \log |x-2| - \log |1-2|
\]
ossia, ricordando la condizione iniziale $y(1)=-1$ ed anche che $x<2$ in $I$:
\[
y^4 (x) - 1 = \log (2-x)
\]
cioè:
\[
\tag{*}
y^4 (x) = 1+\log (2-x)\; .
\]
La relazione (*) definisce la soluzione in forma implicita limitatamente ai punti per cui risulta $>=0$ il secondo membro; dato che \(1+\log (2-x)\geq 0\) se e solo se:
\[
2-x \geq \frac{1}{e}\qquad \Leftrightarrow \qquad x\leq 2 - \frac{1}{e}\; ,
\]
abbiamo \(I=]-\infty, 2-\frac{1}{e}[\) e la soluzione cercata è una delle due funzioni implicitamente definite dalla (*), cioè:
\[
y_+ (x) = \sqrt[4]{1+\log (2-x)}\qquad \text{oppure}\qquad y_- (x) = -\sqrt[4]{1+\log (2-x)}\; .
\]
Si vede che l'unica delle due funzioni trovate ad essere ovunque negativa in $I$ è la seconda, perciò:
\[
y(x) = -\sqrt[4]{1+\log (2-x)}
\]
è la soluzione del PdC assegnato.