Problema con equazione differenziale di secondo ordine

[DioPerdona_AnalisiNo]

Buonasera, questa è l'equazione:

$2y''+4y'+4y=-2e^-x*sen x$

le soluzioni del polinomio caratteristico sono: $-1+i$ e $-1-i$ la molteplicità è 1;

Ho trovato $y_0=c_1*e^-x*cosx+c_2*e^-x*senx$

ed ora mi sono bloccato, se mi date qualche dritta per continuare ve ne sarò per sempre grato

[Summerwind78]

Ciao

tu quindi hai trovato le due soluzioni dell'omogenea associata che sono

$q_(1,2)= -1 \pm i$

desso ha l'elemento di non omogeneità alla destra dell'uguale è

$f(x) = -2 e^(-x) sin x$

che lo puoi vedere come

$e^(alpha x) ( k_1 sin (beta x) + k_2 cos (beta x) )$

dove $k_1$ e $k_2$ sono costanti numeriche anche nulle

nel tuo caso hai $k_1 = -2$ e $k_2 = 0$
inoltre hai $alpha = -1$ e $beta = 1$

a questo punto tu sai che se $alpha +- i beta $ sono soluzioni dell'omogenea associata, allora l'integrale che cerchi è nella forma

$x^r e^(alpha x) ( A sin (beta x) + B cos (beta x) )$

se invece $alpha +- i beta $ non sono soluzioni dell'omogenea associata, allora il tuo integrale è

$e^(alpha x) ( A sin (beta x) + B cos (beta x) )$

dove $A$ e $B$ sono costanti da determinare con le condizioni al contorno

lascio a te proseguire

[DioPerdona_AnalisiNo]

"Summerwind78":Ciao

tu quindi hai trovato le due soluzioni dell'omogenea associata che sono

$ q_(1,2)= -1 \pm i $

desso ha l'elemento di non omogeneità alla destra dell'uguale è

$ f(x) = -2 e^(-x) sin x $

che lo puoi vedere come

$ e^(alpha x) ( k_1 sin (beta x) + k_2 cos (beta x) ) $

dove $ k_1 $ e $ k_2 $ sono costanti numeriche anche nulle

nel tuo caso hai $ k_1 = -2 $ e $ k_2 = 0 $
inoltre hai $ alpha = -1 $ e $ beta = 1 $

a questo punto tu sai che se $ alpha +- i beta $ sono soluzioni dell'omogenea associata, allora l'integrale che cerchi è nella forma

$ x^r e^(alpha x) ( A sin (beta x) + B cos (beta x) ) $

se invece $ alpha +- i beta $ non sono soluzioni dell'omogenea associata, allora il tuo integrale è

$ e^(alpha x) ( A sin (beta x) + B cos (beta x) ) $

dove $ A $ e $ B $ sono costanti da determinare con le condizioni al contorno

lascio a te proseguire

Grazie mille per la risposta sei stato genitilissimo, in questi giorni ho proseguito ed Il mio problema principale sta proprio nel trovare $A$ e $B$, come posso fare?

Di solito quando quando l'integrale che trovo è semplice faccio le relative derivate, poi sostituisco nell'equazione e con il principio d'identità dei polinomi riesco a trovare $A$ e $B$, ma in questo caso è troppo complicato arrivare fino alla derivata seconda dell'integrale che mi viene:

$xe^-x*A*sen x+xe^-x*B*cosx$

C'è un altro metodo??

[Summerwind78]

Ciao

io di solito utilizzo l'identità dei polinomi, non so se esista un metodo migliore

magari qualcuno più bravo di me può suggerirtelo