Problema con equazione differenziale

[Cabba1]

Saluto tutti è il mio primo post!

Sto studiando le equazioni differenziali a variabili separabili, il mio libro dice che se alcune equazioni sono sono a variabili separabili ma sono del tipo $y' = f( ax + by + c )$ possono essere ridotte a variabili separabili, e che y è soluzione se e solo se $z(x) = ax + by(x) + c$ è soluzione di $z' = a + bf(z)$.

Successivamente in un esempio chiede di trovare le soluzioni del equazione differenziale $y' = e^(x + 2y) -1/2$.
Quindi pone $z(x) = x + 2y$ da cui $z' = 1 + 2y'$ e sostituendo nell'equazione di partenza ottiene $z' = 2e^z$

Ora il mio problema è il seguente (probabilmente sarà una cavolata ma stò impazzendo) dice che tutte le soluzioni dell'equazione $z' = 2e^z$ sono date da $-e^(-z) = 2x + c$. Non riesco a capire dove vengono fuori i segni meno del esponenziale.
Non dovrebbe essere
$z' = 2e^z$
$(z')/e^z = 2$
$[ log( e^z) ]' = 2$ (integrando)
$e^z = 2x + c $

Grazie a tutti.

[Kyl1]

$int dx/e^x != ln(e^x)=x$

[Cabba1]

Hai assolutamente ragione, non so perchè non mi sia venuto in mente ... grazie mille per la dritta!!