Problema con equazione differenziale

[Ligy1]

Ciao a tutti! Ho un problema con una equazione differenziale lineare del secondo ordine:
$ y''+ 4y' + 5y = 4cosx $
Risolvendo il polinomio caratteristico mi vengono due radici complesse coniugate $ -2 +- i $ , quindi la soluzione dell'omogenea è $ e^(-2x)[c_1cosx+c_2sinx] $ quindi utilizzando il metodo di somiglianza ho cercato una soluzione della forma $x[Acosx+Bsinx]$. Tuttavia derivando e sostituendo mi viene un sistema impossibile e non riesco a capire proprio dove sia lo sbaglio!
Se qualcuno fosse in grado di aiutarmi gliene sarei eternamente riconoscente!

[Luca.Lussardi]

Perche' cerchi la soluzione particolare come $xA\cos x+xB\sin x$? Io proverei con $A\cos x+B\sin x$.

[Ligy1]

Salve Luca, grazie della risposta!
Ho pensato di risolverlo in questo modo dal momento che il termine noto della mia equazione non omogenea è del tipo $ cos(betax)Q(x) $ con $ beta =1 $ , che coincide con la $ beta $ della radice del polinomio caratteristico.
E' un ragionamento errato?

[Luca.Lussardi]

Non mi ricordo tutta la casistica, io osservo solo che le soluzioni della forma $A\cos x+B\sin x$ non le hai dall'omogenea perche' nell'omogenea hai anche $e^{2x}$ a fattore, per cui hai speranza di trovare un integrale particolare di questa forma. Se proprio vuoi usare il grado 1 devi metterlo completo, cioe' cercare integrali particolari della forma $(Ax+B)\cos x+(Dx+E)\sin x$.

[Ligy1]

Grazie mille Luca, effettivamente la soluzione era della forma $ Acosx + Bsinx $. Avevo erroneamente pensato di trovarmi davanti a un caso di risonanza in cui dover applicare $ x(Acosx + Bsinx) $.
Ti ringrazio molto ancora mi sei stato utilissimo!!