Problema con eq. differenziale II ordine

[Redivivo]

ciao,
ho quest'equazione
$ y''-4y=f(x) $ $ f(x)={ ( 4xe^{2x}, x>=0 ),( 2sin x, x<0):} $
il problema è quando voglio calcolare $4xe^{2x}$.Con il metodo della somiglianza se cerco un'equazione del tipo
$y=ce^{2x}$ mi si annulla l'equazione caratteristica. Se provo con
$y=cxe^{2x}$ mi viene $c=x$
come faccio?

[Morris0191]

provato con la variazione delle costanti?

considerando $f(x) = 4xe^(2x)$ la tua eq. diverrebbe $y^{\prime}' -4y=4xe^(2x)$ giusto?

[Redivivo]

si , nel calcolo dell'equazione particolare mi viene $0=4xe^{2x}$
e anche con il metodo degli annichilatori, stessa roba

[Morris0191]

Io l'ho risolto in questo modo:

$ y= y_0 +\bar y$

$\lambda^2 -4=0$ $rArr$ $\lambda = \pm 2$ $rArr$ $y_1 = e^(-2x)$ $y_2= e^(2x)$
In base a quanto scritto diciamo che $y_0 = c_1y_1 +c_2y_2$
$rArr$ $y_0 = c_1e^(-2x) + c_2e^(2x)$.
Dobbiamo ora risolvere $\bar y$.

$\bar y$ = $f_1y_1 + f_2y_2$.
Tenendo conto del fatto che il determinante Wronskiano è 4, applichiamo queste formule: $f_1 = \int (-y_2 f(x))/[W(x)]$ e $f_2 = \int (y_1 f(x))/[W(x)]$.
$f_1= [xe^(4x)]/4 - e^(4x)/16$ , $f_2= x^2/2$ $rArr$
$\bar y =$ $([xe^(4x)]/4 - e^(4x)/16)e^(-2x)$ + $(x^2/2)e^(2x)$.
Quindi sommi $y_0$ ed $\bar y$ ed hai trovato la soluzione di $y$.

[Morris0191]

Si è il metodo della variazione delle costanti, ho risolto pirma l'equazione omogenea $e^(\lambdax)(\lambda^2 -4)=0$ dopodichè ho fatto il resto. Il determinante Wronskiano, è il determinante che si ottiene dalla matrice $W(x)=det((y_1,y_2),(y'_1,y'_2))$

[Redivivo]

ok grazie. il mio libro non lo nomina però ci sta nel senso di determinante di quella matrice