Problema con disuguglianza notevole !
ciao ho un esercizio che mi chiede di trovare per quali valori di C le soluzioni sono globali!la funzione è
$g(x)= Ce^{-2x}+x-1 / 2 $ .le soluzioni sono globali per g(x)>0!
quando si va ad analizzare per $ C \geq 1/ 2 $ ,dice che per la disuguaglianza notevole $ e^{t} \geq t+1 $ si ha
$ g(x) \geq 1/ 2 (e^{-2x}+2x-1 ) >0$ per $ AA x>0 $ allora sono globali!io non ho capito questa disuguaglianza notevole e come l'ha usata ??grazie
$g(x)= Ce^{-2x}+x-1 / 2 $ .le soluzioni sono globali per g(x)>0!
quando si va ad analizzare per $ C \geq 1/ 2 $ ,dice che per la disuguaglianza notevole $ e^{t} \geq t+1 $ si ha
$ g(x) \geq 1/ 2 (e^{-2x}+2x-1 ) >0$ per $ AA x>0 $ allora sono globali!io non ho capito questa disuguaglianza notevole e come l'ha usata ??grazie
Risposte
Vuoi sapere perché $AA t in RR$ si ha $e^t>=t+1$?
"Basta" fare lo studio della funzione $f(t)=e^t-t-1$ osservando che $f(t)>=0$ per ogni $t$ reale (si usa la derivata).
Veniamo al come l'ha usata: $g(x) = C*e^(-2x) +x-1/2 $
Se $C>=1/2$ certamente $C*e^(-2x)>=1/2 *e^(-2x)$, dunque
$g(x) >= 1/2*e^(-2x) +x-1/2 = 1/2*(e^(-2x) +2x-1)= 1/2*(e^(-2x) -(-2x) -1)>=0$
Nel nostro caso $t$ è $-2x$
"Basta" fare lo studio della funzione $f(t)=e^t-t-1$ osservando che $f(t)>=0$ per ogni $t$ reale (si usa la derivata).
Veniamo al come l'ha usata: $g(x) = C*e^(-2x) +x-1/2 $
Se $C>=1/2$ certamente $C*e^(-2x)>=1/2 *e^(-2x)$, dunque
$g(x) >= 1/2*e^(-2x) +x-1/2 = 1/2*(e^(-2x) +2x-1)= 1/2*(e^(-2x) -(-2x) -1)>=0$
Nel nostro caso $t$ è $-2x$
perfetto grazie mille!!
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