Problema con disuguaglianza
Domando gentilmente un suggerimento per il seguente:
Un provato un po' a scandagliare tutti gli argomenti affrontati finora nel corso, ma non sono riuscito a cavare un'idea adoperabile. In principio pensavo di poter servirmi della densità di \(\displaystyle \mathbb{Q} \) in \(\displaystyle \mathbb{R} \), ossia del fatto che presi comunque due elementi \(\displaystyle x, \ y \ \in \ \mathbb{R} \) con \(\displaystyle x < y \), esiste sempre \(\displaystyle q \ \in \mathbb{Q} \) tale che \(\displaystyle x
Ringrazio anticipatamente.
Siano \(\displaystyle x_{1}, \ x_{2}, \ ... \ ,x_{n} \ge 0 \) numeri reali e sia \(\displaystyle x=x_{1}+x_{2}+...+x_{n} \) la loro somma. Provare che \[\displaystyle \sum_{k=1}^{n-1} x_{k} x_{k+1} \le \frac{x^{2}}{4} \]
Un provato un po' a scandagliare tutti gli argomenti affrontati finora nel corso, ma non sono riuscito a cavare un'idea adoperabile. In principio pensavo di poter servirmi della densità di \(\displaystyle \mathbb{Q} \) in \(\displaystyle \mathbb{R} \), ossia del fatto che presi comunque due elementi \(\displaystyle x, \ y \ \in \ \mathbb{R} \) con \(\displaystyle x < y \), esiste sempre \(\displaystyle q \ \in \mathbb{Q} \) tale che \(\displaystyle x
Ringrazio anticipatamente.
Risposte
Hai provato per induzione su $n$?
[Cancello quanto ho scritto perché neanche a me convincevano i passaggi fatti]
Dovrei pensarci...
Dovrei pensarci...
"Seneca":
[...]
In realtà l'ultimo passaggio è giustificato solo se $x_1 + x_2 + ... + x_(n-1) >= x_n$. Dovrei pensarci...
Dopo aver fatto due conti, stavo proprio per obiettare.
In effetti avevo intenzione di utilizzare l'induzione solo in casi estremi perché l'esercizio è preso da un foglio settimanale, ed in teoria le tecniche e gli argomenti da utilizzarsi dovrebbero essere altri.
ciao,
se moltiplicate per 4 ambo i membri e portate tutto a destra ottenete una quantità che maggiora $(x_1-x_2+x_3-x_4+....)^2$
se moltiplicate per 4 ambo i membri e portate tutto a destra ottenete una quantità che maggiora $(x_1-x_2+x_3-x_4+....)^2$
Provo a dare una risposta. Controllate se è giusta;
io credo che lo sia, ma basta che abbia sbagliato un segno e tutto cambia.
Ovviamente prendiamo $n$ naturale maggiore o uguale a $2$,
perchè con $1$ quella disuguaglianza non è molto interessante.
Ordiniamo gli $x_i$ in senso descrescente, ovvero in modo tale che $x_1>=x_2>=...>=x_(n-1)>=x_n>=0$
Poniamo $S_n= x_1+x_2+...+x_n$. Si ha ovviamente $S_n=S_(n+1)-x_(n+1)$, e dunque $(S_n)^2=(S_(n+1))^2+(x_(n+1))^2 -2 S_(n+1)*x_(n+1)$
Preliminarmente, enuncio e dimostro una proprietà che mi sarà utile nel seguito:
Proprietà: $AA n>=2$ naturale si ha $(x_(n+1)^2 -2*S_(n+1)*x_(n+1) )/4 + x_n x_(n+1) <=0$
DIM:
Parto con la dimostrazione, per induzione su $n>=2$:
BASE: OK (banale)
PASSO:
Ipotesi: $sum_(k=1)^(n-1) x_k *x_(k+1) <= ((S_n) ^2) /4$
Tesi: $sum_(k=1)^(n) x_k *x_(k+1) <= ((S_(n+1) )^2) /4$
Si ha $sum_(k=1)^(n) x_k *x_(k+1) = sum_(k=1)^(n-1) x_k *x_(k+1) +x_n *x_(n+1) <= $
$<=((S_n) ^2) /4 +x_n *x_(n+1) = (S_(n+1))^2/4+[(x_(n+1))^2 -2 S_(n+1)*x_(n+1)]/4+x_n *x_(n+1) <= (S_(n+1))^2/4$
(l'ultimo passaggio è giustificato proprio dalla proprietà scritta prima)
io credo che lo sia, ma basta che abbia sbagliato un segno e tutto cambia.
Ovviamente prendiamo $n$ naturale maggiore o uguale a $2$,
perchè con $1$ quella disuguaglianza non è molto interessante.
Ordiniamo gli $x_i$ in senso descrescente, ovvero in modo tale che $x_1>=x_2>=...>=x_(n-1)>=x_n>=0$
Poniamo $S_n= x_1+x_2+...+x_n$. Si ha ovviamente $S_n=S_(n+1)-x_(n+1)$, e dunque $(S_n)^2=(S_(n+1))^2+(x_(n+1))^2 -2 S_(n+1)*x_(n+1)$
Preliminarmente, enuncio e dimostro una proprietà che mi sarà utile nel seguito:
Proprietà: $AA n>=2$ naturale si ha $(x_(n+1)^2 -2*S_(n+1)*x_(n+1) )/4 + x_n x_(n+1) <=0$
DIM:
Parto con la dimostrazione, per induzione su $n>=2$:
BASE: OK (banale)
PASSO:
Ipotesi: $sum_(k=1)^(n-1) x_k *x_(k+1) <= ((S_n) ^2) /4$
Tesi: $sum_(k=1)^(n) x_k *x_(k+1) <= ((S_(n+1) )^2) /4$
Si ha $sum_(k=1)^(n) x_k *x_(k+1) = sum_(k=1)^(n-1) x_k *x_(k+1) +x_n *x_(n+1) <= $
$<=((S_n) ^2) /4 +x_n *x_(n+1) = (S_(n+1))^2/4+[(x_(n+1))^2 -2 S_(n+1)*x_(n+1)]/4+x_n *x_(n+1) <= (S_(n+1))^2/4$
(l'ultimo passaggio è giustificato proprio dalla proprietà scritta prima)
"Gi8":
Provo a dare una risposta. Controllate se è giusta;
io credo che lo sia, ma basta che abbia sbagliato un segno e tutto cambia.
A me sembra corretta. Complimenti!
@Gi8: Ti dico la verità, non ho controllato la tua soluzione. Ma c'è un motivo: anche se probabilmente è giusta, non credo sia il ragionamento a cui l'estensore dell'esercizio vuole condurre. Io punterei invece verso qualcosa di più semplice, basato sostanzialmente sulle formule per il quadrato di una somma. Consiglio di cominciare col dimostrare la disuguaglianza per \(n=2\), poi per \(n=3\) e infine, una volta capito il trucco, nel caso generale. N.B.: Questo è molto simile a quanto propone luluemicia.
@Seneca: grazie 
@dissonance: sicuramente il ragionamento da fare è quello che dite di fare tu e luluemicia. senza dubbio chi ha scritto quell'esercizio voleva che venisse svolto nel vostro modo.
Volevo solo provare a vedere se si poteva dimostrare anche per induzione, dopo aver letto il post di Seneca che dava quel suggerimento
@dissonance: sicuramente il ragionamento da fare è quello che dite di fare tu e luluemicia. senza dubbio chi ha scritto quell'esercizio voleva che venisse svolto nel vostro modo.
Volevo solo provare a vedere se si poteva dimostrare anche per induzione, dopo aver letto il post di Seneca che dava quel suggerimento
Non mento: l'idea proposta da luluemicia mi era già passata per la testa sott'altra forma, ma evidentemente devo aver sbagliato i calcoli perché l'avevo bocciata.
Ringrazio tutti per i consigli datimi e per le soluzioni proposte. Ad maiora!
Ringrazio tutti per i consigli datimi e per le soluzioni proposte. Ad maiora!
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