Problema con dimostrazione
Salve ragazzi, quest'anno ho iniziato Analisi 2 e vorrei chiedervi aiuto riguardo una dimostrazione, precisamente quella del differenziale della funzione composta. Vi posto la dimostrazione che ci ha dato il mio prof e poi vi chiedo i punti oscuri:
Allora, il problema sorge dove dice "per ipotesi risulta ...", allora l'ipotesi dovrebbe essere la derivabilità della funzione $\varphi$ ma non capisco perchè abbia scritto quella cosa in cui c'è anche l'o piccolo.
Io so che l'o piccolo viene utilizzato quando abbiamo due funzioni infinitesime, una di ordine superiore all'altra per cui risulta
$f(x)=o(g(x))$ ma non riesco ad applicare questa cosa in questo caso.
Ovviamente essendomi bloccata all'inizio non ho capito nemmeno il seguito.
Grazie mille a chi mi aiuterà
Allora, il problema sorge dove dice "per ipotesi risulta ...", allora l'ipotesi dovrebbe essere la derivabilità della funzione $\varphi$ ma non capisco perchè abbia scritto quella cosa in cui c'è anche l'o piccolo.
Io so che l'o piccolo viene utilizzato quando abbiamo due funzioni infinitesime, una di ordine superiore all'altra per cui risulta
$f(x)=o(g(x))$ ma non riesco ad applicare questa cosa in questo caso.
Ovviamente essendomi bloccata all'inizio non ho capito nemmeno il seguito.
Grazie mille a chi mi aiuterà
Risposte
E' un altro modo per scrivere che $\lim_{\tau \to 0}\frac{\varphi(t_0+\tau)-\varphi(t_0)}{\tau}=\varphi'(t_0)$. Ovviamente manca un $\tau$ davanti a $\varphi'(t_0)$.
Avevo pensato a quella formula ma comunque non riesco a ricondurmi a quella usata nella dimostrazione. Cioè io so che l'o piccolo si può usare solo quando il limite del rapporto fa 0 mentre noi non sappiamo la derivata che valore abbia, sappiamo soltanto che si tratta di un valore esistente e finito perchè per ipotesi la funzione è derivabile.
Cioè ci sono su quando dici che possiamo scrivere l'ipotesi attraverso il limite, ma non capisco da quella come arrivare alla scritta con l'o piccolo del prof.
Inoltre dove manca tau?
Cioè ci sono su quando dici che possiamo scrivere l'ipotesi attraverso il limite, ma non capisco da quella come arrivare alla scritta con l'o piccolo del prof.
Inoltre dove manca tau?
Hai $\lim_{\tau \to 0}\frac{\varphi(t_0+\tau)-\varphi(t_0)-\tau \varphi'(t_0)}{\tau}=0$ e quindi per definizione $\varphi(t_0+\tau)-\varphi(t_0)-\tau \varphi'(t_0)=o(\tau)$.
Quindi bisogna portare la derivata al primo membro e poi fare il minimo comune multiplo, ma poi perchè la derivata entra nel limite? Non è una quantità fuori? E inoltre perchè il limite fa 0?
Ma $\varphi'(t_0)$ è costante rispetto a $\tau$...
Perfetto, ho capito! Unica cosa: perchè nella dimostrazione manca $tau$ che moltiplica la derivata?
Perché il prof è un uomo e può fare errori. Se noti qualche riga sotto il \(\tau\) se l'è ricordato.
Ah ecco, capito. Mi spiegheresti ora le due righe dopo "Pertanto"? Mi sto parecchio imbrogliando 
scusa il disturbo, siamo quasi alla fine :p
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