Problema con derivata totale e parziale
Ciao a tutti, mi sono arenata su un concetto che dovrebbe essermi chiaro ma noto non esserlo affatto. Il punto è che non riesco a capire perché date la funzione $L(q(t),dotq(t))$
-derivata parziale $\(partialL)/(\partialt)=0$
-derivata totale $\(dL)/(\dt)$ diverso da zero.
L'errore che faccio è proprio base, ma non capisco il perché, infatti qualunque funzione derivata rispetto a una variabile x può scriversi come: $(df)/(dx)=(df)/(dy)(dy)/(dx)$ ammettendo che y(x), cioè y sia funzione di x.
Questo $f(x(t),y(t))$, mi sembra esattamente il caso essendo x(t) e y(t) solo che abbiamo una derivata parziale avendo una funzione a due valori. Ma allora perché $\frac{\partial f}{\partial t} =0$?
In effeti, a conti fatti, se $f(x(t),y(t))$ la f varia al variare di t, quindi la derivata non può restituirmi zero. Se f non è costante al variare di una certa t non potrà darmi valore zero il processo di derivazione.
Il problema credo sia nelle definizioni
Prendiamo il numeratore della definzione di derivata direzionale (nel caso specifico parziale lungo i versori coordinati): $f(x+tv_1,y+tv_2)-f(x,y)$ io voglio derivare parzialmente rispetto ad s, il fatto che io abbia una curva per HP tale che $f(\gamma(s+h)-f(gamma(s))$ sia uguale alla precedente dovrebbe portarmi a cocludere che posso derivare g(s) avendo a numeratore $g(s+h)-g(s)$ rispetto ad s sempre e comunque.
Esattamente come riportavo nel caso di funzioni di una variabile reale, se esiste y(x) posso sempre derivare rispetto a x la f(y) potendola comporre.
Non riesco proprio a capire dove soggiaccia la differenza tra totale e parziale.
-derivata parziale $\(partialL)/(\partialt)=0$
-derivata totale $\(dL)/(\dt)$ diverso da zero.
L'errore che faccio è proprio base, ma non capisco il perché, infatti qualunque funzione derivata rispetto a una variabile x può scriversi come: $(df)/(dx)=(df)/(dy)(dy)/(dx)$ ammettendo che y(x), cioè y sia funzione di x.
Questo $f(x(t),y(t))$, mi sembra esattamente il caso essendo x(t) e y(t) solo che abbiamo una derivata parziale avendo una funzione a due valori. Ma allora perché $\frac{\partial f}{\partial t} =0$?
In effeti, a conti fatti, se $f(x(t),y(t))$ la f varia al variare di t, quindi la derivata non può restituirmi zero. Se f non è costante al variare di una certa t non potrà darmi valore zero il processo di derivazione.
Il problema credo sia nelle definizioni
Prendiamo il numeratore della definzione di derivata direzionale (nel caso specifico parziale lungo i versori coordinati): $f(x+tv_1,y+tv_2)-f(x,y)$ io voglio derivare parzialmente rispetto ad s, il fatto che io abbia una curva per HP tale che $f(\gamma(s+h)-f(gamma(s))$ sia uguale alla precedente dovrebbe portarmi a cocludere che posso derivare g(s) avendo a numeratore $g(s+h)-g(s)$ rispetto ad s sempre e comunque.
Esattamente come riportavo nel caso di funzioni di una variabile reale, se esiste y(x) posso sempre derivare rispetto a x la f(y) potendola comporre.
Non riesco proprio a capire dove soggiaccia la differenza tra totale e parziale.
Risposte
È solo una questione di convenzioni. Queste notazioni FANNO confondere, ma sono in voga da sempre e bisogna abituarsi. Piuttosto che in astratto, meglio ragionare sugli esempi. Considera le due funzioni
\[
L_1(\dot q, q, t):= \frac12 \dot{q}^2 -\frac 12 q^2, \]
e
\[
L_2(\dot q, q, t) := \frac12 \dot{q}^2 - \frac12 (tq)^2.\]
Nel primo caso, \(\frac{\partial L_1}{\partial t}=0\), nel secondo \(\frac{\partial L_2}{\partial t}=-tq^2\).
Quanto alla regola della catena, attenzione: quella formula vale solo per le derivate di UNA variabile.
\[
L_1(\dot q, q, t):= \frac12 \dot{q}^2 -\frac 12 q^2, \]
e
\[
L_2(\dot q, q, t) := \frac12 \dot{q}^2 - \frac12 (tq)^2.\]
Nel primo caso, \(\frac{\partial L_1}{\partial t}=0\), nel secondo \(\frac{\partial L_2}{\partial t}=-tq^2\).
Quanto alla regola della catena, attenzione: quella formula vale solo per le derivate di UNA variabile.
Il tuo esempio mi è chiaro, tuttavia a non essermi chiaro è perché si affermi che la derivata totale di $L(q(t),\dotq(t))$ indipendente dal tempo possa essere diversa da zero, mentre la derivata parziale di L sia zero.
Se io prendo L1 sia la totale che la parziale sono sono zero. E se predo L2 con la composizione derivare parzialmente per t equivale a derivare totalemtne per t.
Non capisco, cioè, la differenza tra aprziale e totale. L posso vederla come funzione composta e fare la regola della catena generalizzata con gli jacobiani.
Se io prendo L1 sia la totale che la parziale sono sono zero. E se predo L2 con la composizione derivare parzialmente per t equivale a derivare totalemtne per t.
Non capisco, cioè, la differenza tra aprziale e totale. L posso vederla come funzione composta e fare la regola della catena generalizzata con gli jacobiani.
Non è "indipendente dal tempo". Calcoliamola;
\[
\frac{d L_1}{dt} = \dot q \frac{d \dot q}{dt} - q\frac{d q}{dt}.\]
No, questo non è vero. La derivata parziale l'abbiamo scritta nel post precedente. La derivata totale è
\[
\frac{d L_2}{dt} = \dot q \frac{d \dot q}{dt} - tq^2-t^2q\frac{dq}{dt}.\]
\[
\frac{d L_1}{dt} = \dot q \frac{d \dot q}{dt} - q\frac{d q}{dt}.\]
se predo L2 con la composizione derivare parzialmente per t equivale a derivare totalmente per t.
No, questo non è vero. La derivata parziale l'abbiamo scritta nel post precedente. La derivata totale è
\[
\frac{d L_2}{dt} = \dot q \frac{d \dot q}{dt} - tq^2-t^2q\frac{dq}{dt}.\]
@saretta
Io non sono un fisico ma molto tempo fa guardai una serie di lezioni tenute dal grande Susskind sul sito YT dell'Università di Stanford. Qualcuno eventualmente mi correggerà.
Leggendo ciò che hai scritto vedo un po' di confusione ma è chiaro che sei alle prese con una lagrangiana.
E' un problema di calcolo della variazione: detto in parole povere non si deriva solo rispetto a parametri ma rispetto a funzioni (che è sempre la stessa solfa a livello pratico).
Scriviamo il differenziale della lagrangiana generale:
$dL[q(t), q'(t),t]=dL=(partialL)/(partialq(t))dq(t)+(partialL)/(partialq'(t))dq'(t)+(partialL)/(partialt)dt$
Se il sistema è conservativo, l'energia potenziale non dipende dal tempo e L dipende solo da $L[q(t), q'(t)]$ (posizione e velocità)
Quindi in questo caso $(partialL)/(partialt)=0$ per ipotesi, visto che non dipende da t.
Il differenziale diventa: $dL[q(t), q'(t),t]=dL=(partialL)/(partialq(t))dq(t)+(partialL)/(partialq'(t))dq'(t)$ (come accade spesso nella meccanica newtoniana).
Dividendo ambo i membri per $dt$ abbiamo:
$(dL)/(dt)=(partialL)/(partialq(t))(dq(t))/(dt)+(partialL)/(partialq'(t))(dq'(t))/(dt)=(partialL)/(partialq(t))q'(t)+(partialL)/(partialq'(t))q''(t)$
ovvero il differenziale totale, che ovviamente in generale non sarà zero a meno di non proporre un sistema banale. In altre parole il libro sta solo facendo un passaggio del tipo che ho evidenziato IMHO.
Io non sono un fisico ma molto tempo fa guardai una serie di lezioni tenute dal grande Susskind sul sito YT dell'Università di Stanford. Qualcuno eventualmente mi correggerà.
Leggendo ciò che hai scritto vedo un po' di confusione ma è chiaro che sei alle prese con una lagrangiana.
E' un problema di calcolo della variazione: detto in parole povere non si deriva solo rispetto a parametri ma rispetto a funzioni (che è sempre la stessa solfa a livello pratico).
Scriviamo il differenziale della lagrangiana generale:
$dL[q(t), q'(t),t]=dL=(partialL)/(partialq(t))dq(t)+(partialL)/(partialq'(t))dq'(t)+(partialL)/(partialt)dt$
Se il sistema è conservativo, l'energia potenziale non dipende dal tempo e L dipende solo da $L[q(t), q'(t)]$ (posizione e velocità)
Quindi in questo caso $(partialL)/(partialt)=0$ per ipotesi, visto che non dipende da t.
Il differenziale diventa: $dL[q(t), q'(t),t]=dL=(partialL)/(partialq(t))dq(t)+(partialL)/(partialq'(t))dq'(t)$ (come accade spesso nella meccanica newtoniana).
Dividendo ambo i membri per $dt$ abbiamo:
$(dL)/(dt)=(partialL)/(partialq(t))(dq(t))/(dt)+(partialL)/(partialq'(t))(dq'(t))/(dt)=(partialL)/(partialq(t))q'(t)+(partialL)/(partialq'(t))q''(t)$
ovvero il differenziale totale, che ovviamente in generale non sarà zero a meno di non proporre un sistema banale. In altre parole il libro sta solo facendo un passaggio del tipo che ho evidenziato IMHO.
Grazie a tutti ragazzi 
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