Problema con antitrasformata di Laplace
Salve gente,
ho un problema con la seguente $F(s)$.
L'ho presa da un testo d'esame di analisi 2, esercizio 2.
Il testo dice:
Trovare il segnale $f(t)$ la cui trasformata di Laplace è:
$F(s)=e^{-2s}/{s+a}$
con $a\in CC$. Determinare tutti i numeri complessi $a$ per cui $|f(t)|\leq 1$ per $t\geq 2$.
La cosa non mi sembra difficile. Posso considerare al momento solo la funzione $F(s)=1/{s+a}$ e poi ricordarmi di traslare.
Quindi secondo me l'antitrasformata è: $f(t)=e^{-a(t-2)}$
Invece secondo quanto dice nella soluzione è $f(t)=H(t-2)e^{-a(t-2)}$
Non capisco se ci mette già l'$H(t-2)$ perché il testo dell'esercizio vuole che si vada ad analizzare la parte per $t\geq 2$ oppure sbaglio io a fare l'antitrasformata.
ho un problema con la seguente $F(s)$.
L'ho presa da un testo d'esame di analisi 2, esercizio 2.
Il testo dice:
Trovare il segnale $f(t)$ la cui trasformata di Laplace è:
$F(s)=e^{-2s}/{s+a}$
con $a\in CC$. Determinare tutti i numeri complessi $a$ per cui $|f(t)|\leq 1$ per $t\geq 2$.
La cosa non mi sembra difficile. Posso considerare al momento solo la funzione $F(s)=1/{s+a}$ e poi ricordarmi di traslare.
Quindi secondo me l'antitrasformata è: $f(t)=e^{-a(t-2)}$
Invece secondo quanto dice nella soluzione è $f(t)=H(t-2)e^{-a(t-2)}$
Non capisco se ci mette già l'$H(t-2)$ perché il testo dell'esercizio vuole che si vada ad analizzare la parte per $t\geq 2$ oppure sbaglio io a fare l'antitrasformata.
Risposte
Immagino che $H(x)$ sia la funzione gradino... Bè ce la mette perchè la formula che ottieni come antitrasformata è valida solo per valori $t-2>0$, altrimenti l'integrale non converge....
Sì, è la funzione di Heaviside, come dice anche sul testo.
Scusa non capisco. Perché l'antitrasformata come ho fatto io è valida solo per valori $t-2>0$?
Ho una tale confusione in mente...
Scusa non capisco. Perché l'antitrasformata come ho fatto io è valida solo per valori $t-2>0$?
Ho una tale confusione in mente...
Credo sia una questione di definizioni. Dovresti controllare come e'stata definita la trasformata di Laplace (e per quali funzioni)
dal titolare del corso.
Secondo me (anch'io sono d'accordo su questa impostazione) la trasformata si fa per funzioni $f$ con supporto contenuto in una semiretta
$[T_0,+\infty[$ e si ottiene dalla formula $L(f)(s)=\int_{-\infty}^{+\infty} f(t)e^{-ts}dt$.
Se si segue questa impostazione non si puo' trasformare $e^{-at}$ si puo' trasformare $H(t)e^{-at}$ ed e' quest'ultima ad avere come trasformata $\frac{1}{s+a}$.
Traslando all'indietro si giunge allora a $H(t-2)e^{-a(t-2)}$
dal titolare del corso.
Secondo me (anch'io sono d'accordo su questa impostazione) la trasformata si fa per funzioni $f$ con supporto contenuto in una semiretta
$[T_0,+\infty[$ e si ottiene dalla formula $L(f)(s)=\int_{-\infty}^{+\infty} f(t)e^{-ts}dt$.
Se si segue questa impostazione non si puo' trasformare $e^{-at}$ si puo' trasformare $H(t)e^{-at}$ ed e' quest'ultima ad avere come trasformata $\frac{1}{s+a}$.
Traslando all'indietro si giunge allora a $H(t-2)e^{-a(t-2)}$
Dalla definizione hai che (spero che ti vada bene questa perchè la vera antitrasformata di Laplace sarebbe in campo complesso mi pare....)
$f(t) = \int_0^(+\infty) e^(-s(t-2))/(s+a) ds$
Se analizzi questo integrale ti accorgi che converge solo se l'esponenziale va a zero per $s->+\infty $ e questo succede solo se $t-2 > 0$. Ora per rendere conto simbolicamente in maniera concisa di questo fatto nel risultato si usa la $H$, che ti ricorda che il tuo risultato ha validità solo in quel range. Per come la vedo io come "soluzione" va bene anche
solo che con usando la $H$ è un po' più elegante formalmente.
$f(t) = \int_0^(+\infty) e^(-s(t-2))/(s+a) ds$
Se analizzi questo integrale ti accorgi che converge solo se l'esponenziale va a zero per $s->+\infty $ e questo succede solo se $t-2 > 0$. Ora per rendere conto simbolicamente in maniera concisa di questo fatto nel risultato si usa la $H$, che ti ricorda che il tuo risultato ha validità solo in quel range. Per come la vedo io come "soluzione" va bene anche
$f(t) = e^(-a(t-2))$ per $t>2$
solo che con usando la $H$ è un po' più elegante formalmente.
"ViciousGoblin":
Credo sia una questione di definizioni. Dovresti controllare come e'stata definita la trasformata di Laplace (e per quali funzioni)
dal titolare del corso.
Secondo me (anch'io sono d'accordo su questa impostazione) la trasformata si fa per funzioni $f$ con supporto contenuto in una semiretta
$[T_0,+\infty[$ e si ottiene dalla formula $L(f)(s)=\int_{-\infty}^{+\infty} f(t)e^{-ts}dt$.
Se si segue questa impostazione non si puo' trasformare $e^{-at}$ si puo' trasformare $H(t)e^{-at}$ ed e' quest'ultima ad avere come trasformata $\frac{1}{s+a}$.
Traslando all'indietro si giunge allora a $H(t-2)e^{-a(t-2)}$
A vederla così la cosa mi sembra molto chiara, solo che a partire dalla trasformata e ricostruendo il segnale con i metodi noti, non mi sarebbe mai venuto in mente di metterci $H(t)$ davanti!
"alle.fabbri":
Per come la vedo io come "soluzione" va bene anche
$f(t) = e^(-a(t-2))$ per $t>2$
solo che con usando la $H$ è un po' più elegante formalmente.
Ok, allora su questo mi trovi d'accordo. Se devo dire che l'antitrasformata che ho trovato io è valida solo per $t>2$ allora ci metto l'$H(t)$.
Perfetto, grazie a tutti!
Per la verita' non sono proprio d'accordo con l'affermazione sul fatto che l'antitrasformata non esiste per $t\leq 2$.
Se cosi' fosse sarebbe scorretto metterci $H(t-2)$. E' probabile che sia anche qui una questione di definizioni. ma vorrei
spiegare come la vedo io.
Prendiamo per esempio $F(s)=\frac{1}{s+a}$. Allora, per quello che so io, l'antitrasformata di $F$ si ottiene da
$f(t)=\frac{1}{2\pi i}\int_{x_0+i RR}F(s)e^{ts}ds$
dove $x_0$ e' un'ascissa maggiore della parte reale di $a$ e si integra sulla retta parallela all'asse immaginario passante per $x_0$.
Tale $f(t)$ FA ZERO se $t<0$ e fa $e^{-at}$ se $t>0$.Quinhi $f(t)=H(t)e^{-at}$
COMMENTO (da matematico)
Per come l'ho capita io la trasformata di Laplace (unilatera) si fa per "processi" che hanno un tempo iniziale (prima del quale tutto era fermo).
Da qui la necessita' formale di trasformare $H(t)$ (e non uno) $H(t)\cos(t)$ (e non $\cos(t)$) e cosi' via. Questo modo di fare le cose spiega il passaggio alle distribuzioni
e spiega come mai , trasformando la derivata compaia il valore in zero (il fatto e' che, in generale, $Hf'\ne(Hf)'$ ).
Se cosi' fosse sarebbe scorretto metterci $H(t-2)$. E' probabile che sia anche qui una questione di definizioni. ma vorrei
spiegare come la vedo io.
Prendiamo per esempio $F(s)=\frac{1}{s+a}$. Allora, per quello che so io, l'antitrasformata di $F$ si ottiene da
$f(t)=\frac{1}{2\pi i}\int_{x_0+i RR}F(s)e^{ts}ds$
dove $x_0$ e' un'ascissa maggiore della parte reale di $a$ e si integra sulla retta parallela all'asse immaginario passante per $x_0$.
Tale $f(t)$ FA ZERO se $t<0$ e fa $e^{-at}$ se $t>0$.Quinhi $f(t)=H(t)e^{-at}$
COMMENTO (da matematico)
Per come l'ho capita io la trasformata di Laplace (unilatera) si fa per "processi" che hanno un tempo iniziale (prima del quale tutto era fermo).
Da qui la necessita' formale di trasformare $H(t)$ (e non uno) $H(t)\cos(t)$ (e non $\cos(t)$) e cosi' via. Questo modo di fare le cose spiega il passaggio alle distribuzioni
e spiega come mai , trasformando la derivata compaia il valore in zero (il fatto e' che, in generale, $Hf'\ne(Hf)'$ ).
Per definizione, data $f:[o,+\infty)\rightarrow RR$ si definisce la trasformata di Laplace $F(s)$ di $f(t)$ la funzione
$F(s)=\mathcal{L}(f(t))=\int_0^{+\infty} f(t)\ e^{-st}\ dt$.
Per calcolare la tua antitrasformata, puoi applicare il Primo e Secondo teorema di shifting (che sono proprietà fondamentali della trasformata di Laplace):
- Primo Teorema di Shifting: $\mathcal{L}^{-1}[F(s-a)]=e^{at} f(t)$;
- Secondo Teorema di Shifting: $\mathcal{L}^{-1}[e^{-as} F(s)]=H(t-a) f(t-a)$.
Puoi allora applicare il secondo teorema alla funzione $G(s)=1/{s+a}$ (la cui antitrasformata è la funzione $g(t)=e^{-at}$) in questo modo: poiché $F(s)=e^{-2s}/{s+a}=e^{-2s} G(s)$ abbiamo
$\mathcal{L}^{-1}[F(s)]=\mathcal{L}^{-1}[e^{-2s} G(s)]=H(t-2)\cdot g(t-2)=H(t-2)\cdot e^{-a(t-2)}$
e quindi il risultato cercato.
$F(s)=\mathcal{L}(f(t))=\int_0^{+\infty} f(t)\ e^{-st}\ dt$.
Per calcolare la tua antitrasformata, puoi applicare il Primo e Secondo teorema di shifting (che sono proprietà fondamentali della trasformata di Laplace):
- Primo Teorema di Shifting: $\mathcal{L}^{-1}[F(s-a)]=e^{at} f(t)$;
- Secondo Teorema di Shifting: $\mathcal{L}^{-1}[e^{-as} F(s)]=H(t-a) f(t-a)$.
Puoi allora applicare il secondo teorema alla funzione $G(s)=1/{s+a}$ (la cui antitrasformata è la funzione $g(t)=e^{-at}$) in questo modo: poiché $F(s)=e^{-2s}/{s+a}=e^{-2s} G(s)$ abbiamo
$\mathcal{L}^{-1}[F(s)]=\mathcal{L}^{-1}[e^{-2s} G(s)]=H(t-2)\cdot g(t-2)=H(t-2)\cdot e^{-a(t-2)}$
e quindi il risultato cercato.
"ciampax":
- Secondo Teorema di Shifting: $\mathcal{L}^{-1}[e^{-as} F(s)]=H(t-a) f(t-a)$.
Ecco perché!!!!
Giusto! Infatti questa cosa me la sono ritrovata anche sulla tabella delle trasformate notevoli di Laplace.
Quindi è appurato che la trasformata che ho trovato io è errata, e quindi usando il secondo teorema di shifting, ho appunto
$f(t)=H(t-2)\cdot e^{-a(t-2)}$
Grazie, ora è tutto chiaro!
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