Problema con analisi di una f(x)

[mistimax]

Ciao a tutti...sono nuovo del forum e a primo impatto mi è sembrato che c'è gente veramente in gamba..ora vi propongo il mio problema.

Ho una f(x) definita in tutto R
f(x)= 4arctgx - 2x + (@+x)log(1+x^2) con @€ R

1)calcolare i lim agli estremi del dominio di f(x) e dire per quali valori di @ è una bigezione.
Suggerimento: i lim servono per avere la surgettività e fin qui ci siamo.Per l'iniettività il prof mi suggerisce di porre f'(x)=g(x) e calcolare i lim di g
agli estremi del D(quindi -oo e +oo) e di conseguenza osservare che il min di g è il più piccolo fra i valori che la g assume nei punti in cui
g'(x)=0. Questa cosa non mi è chiara.Voi come trovereste i valori di @ per cui è iniettiva?
2)Si disegni,al variare di @, un grafico qualitativo di f(x).
3)Si calcoli il numero e segno delle radici di f(x) per @-->+oo e per @-->-oo

Ringrazio in anticipo chiunque voglia darmi delle delucidazioni e dei chiarimenti per la risoluzione.saluti






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[@melia]

"mistimax":Ho una f(x) definita in tutto R
f(x)= 4arctgx - 2x + (@+x)log(1+x^2) con @€ R
1)calcolare i lim agli estremi del dominio di f(x) e dire per quali valori di @ è una bigezione.

Seguendo il consiglio del tuo docente
Calcola g(x) e g'(x)
A me viene $g'(x)=(2(x-1)(x+1)(x-a))/(1+x^2)^2$
Quindi g ha 3 estremanti, per la precisione calcolando i limiti a $+-oo$ di g si ottiene in entrambi i casi $+oo$, per cui g è dotata di due minimi e un massimo. A questo punto si calcolano le ordinate e si vede che
$g(a)>0$ per ogni a reale
$g(1)>0$ per $a>-1-lg2$
$g(-1)>0$ per $a<1+lg2$
quindi g è sempre positiva solo se $-1-lg2f sia monotona crescente

Prova a vedere se gli strumenti che hai ora sono sufficienti perché tu riesca a concludere l'esercizio

[mistimax]

per la precisione calcolando i limiti a di g si ottiene in entrambi i casi , per cui g è dotata di due minimi e un massimo.

come fai a raggiungere subito questa conclusione?
Poi le radici come le trovo?Grazie per l'attenzione che stai ponendo al quesito.

[@melia]

$g(x)=(2+2ax)/(1+x^2)+lg(1+x^2)$
$lim_(x->+-oo) (2+2ax)/(1+x^2)=0$, mentre $lim_(x->+-oo) lg(1+x^2)=+oo$, perciò $lim_(x->+-oo) g(x)=+oo$