Problema col teorema di unicità del limite...

[Giusyinthesky]

studiando il teorema di unicità del limite, non sono riuscita a capire perchè due intorni di due limiti diversi non possano intersecarsi e dunque avere elementi in comune..qualcuno sa darmi una mano ? grazie

[Rigel1]

Due intorni di punti distinti, se sono sufficientemente piccoli, non si intersecano...

[Giusyinthesky]

...cioè due intorni di punti distinti possono anche intersersecarsi, ma quando sono sufficientemente piccoli, l'insieme intersezione è vuoto....ed è per quest'ultima possibilità che posso dimostrare il teorema di unicità del limite...giusto?

[Raptorista1]

Se hai due punti $l_1$ e $l_2$ che sono diversi da loro, allora questi due punti saranno distanti tra loro $d=|l_1-l_2|$. Questo è chiaro?

A questo punto scelgo due opportuni intorni dei punti che ho scelto [la definizione di limite me lo permette, perché vale per qualunque intorno, cioè ogni epsilon] ed in particolare due intorni circolari di raggio $\epsilon = {|l_1-l_2|}/2$, cioè la metà della distanza che separa i due punti limite. A questo punto vedi bene che i due intorni hanno in comune solamente uno degli estremi [se consideri gli intorni come intervalli chiusi, altrimenti nemmeno quello]: sono come due circonferenze tangenti esternamente.

Se è chiaro fino a qui, siamo a posto, perché basta prendere un qualunque intorno dei due punti con un epsilon ancora più piccolo, allora non avranno intersezioni.