Problema cauchy studio qualitativo

[Tes2]

salve a tutti...
ho questo Problema di Cauchy
$\{(y'=(x^2(1-e^(1-y^2)))/(1+x^2y^2) sinh x), (y(0)=2):}$

a)provare che la soluzione y è globale
b)studiare monotonia della soluzione, eventuale simmetria, calcolare $\lim_{x \to \infty}y(x)$

allora...
so innanzitutto che $f(x,y) in C^\infty$ quindi la soluzione è massimale
ora per vedere che è globale dovrei applicare il teorema di esistenza ed unicità in grande
come faccio a trovare le maggiorazioni in questo caso?

so che $e^(-y^2)$ è la campana di Gauss e posso maggiorarla con 1... quindi $1-e^(1-y^2) <= 1-e $

[Tes2]

so che $e^(-y^2)$ è la campana di Gauss e posso maggiorarla con 1... quindi $1-e^(1-y^2) <= 1-e $

[ciampax]

Veramente, poiché $0

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[Tes2]

ok grazie... ora per dimostrare che la soluzione è globale cos'altro posso maggiorare?

[ciampax]

Direi che è anche immediato dire che $1+x^2 y^2\ge 1$ e quindi $1/{1+x^2 y^2}\le 1$. A questo punto cosa fai?

[Tes2]

a questo punto ho che $f(x,y) <= x^2 sinhx =g(x)$
$g(x) in C(RR) $ posso applicare il teorema di esistenza ed unicità in grande.
o forse devo ancora maggiorare?
Mi spiego il teorema mi dice che se $EE a(x) , b(x) in C(I, RR^+ ) tc |f(x,y)| <= a(x) + b(x) |y| AA (x,y) in I X RR => I_(max) = I $

in questo caso b(x) = 0 ma la a(x) puo essere prodotto di due funzioni? come in questo caso?

[ciampax]

Ma $a(x)=g(x)$!

[Tes2]

si giusto!!! un po di confusione...

ora invece, per la monotonia... devo semplicemente studiare quando la derivata prima ( che è quella che ho) è maggiore di zero o minore?
quindi...

$1+x^2 y^2 > 0$
$x^2 >=0 $
$1-e^(1-y^2) >= 0 $
mentre $senhx >= 0 hArr x>=0 $

in conclusione per $x>=0$ è monotona non decrescente
per $x<0$ è monotona decrescente

in 0 ha un massimo

di conseguenza ammette limite... e così applico il teorema dell'asintoto. Va bene fin qui?

Per la simmetria, visto il tipo di monotonia verifico che sia pari... e questo lo so fare.

Ditemi se va bene la monotonia...perchè con la professoressa l'abbiamo studiata in diversi modi e quindi sono un po confusa!

[ciampax]

Sì, per la monotonia va tutto bene. Non ho capito cosa fai per calcolare il limite invece.

[Tes2]

allora... trovo le soluzioni banali dell'equazione... ed è y=1 , dall'unicità so che la soluzione è unica, quindi deve stare o al di sopra o al di sotto di 1. siccome poi il PC mi dà come soluzione y(0) = 2 so che deve essere y(x) > 1.
per y>1 è monotona non decrescente, quindi ammette limite.
appico teorema dell'asintoto.
supposto quindi che $ EE \lim_{x \to -\infty} y(x) = l^- $ con $l^(-) in [1, +infty)$ allora deve accadere che
$\lim_{x \to -\infty} y'(x) =0 $
ora per essere tale limite = 0 deve essere necessariamente $l^(-) = 1$