Problema Cauchy - provare che la soluzione è limitata
Buongiorno a tutti!
Sto cercando di risolvere il seguente esercizio:
\begin{cases}y''+e^{x}y=0 \\ y(0)=1 \\ y'(0)=0\end{cases}
Provare che
\[|y(x)|\leq 1 \ \ \ \forall x \in [0,+\infty)\]
Vi mostro a cosa avevo pensato, ma non ne sono per niente sicuro:
\[y''=-e^{x}y <0\] in quanto $e^{x}>0 \ \ \forallx\in\mathbb{R}$ e la condizione $y(0)=1$ mi assicura che anche $y>0$.
Poi ho $y'(0)=0$, quindi $x=0$ è punto critico per $y(x)$. Inoltre abbiamo visto $y''<0$, dunque $x=0$ è punto di massimo relativo.
Ovviamente questo vale solo in un intorno di 0, quando dovrei dimostrarlo $\forall x \in [0,+\infty)$
Potreste darmi un consiglio? Grazie mille dell'attenzione!
Sto cercando di risolvere il seguente esercizio:
\begin{cases}y''+e^{x}y=0 \\ y(0)=1 \\ y'(0)=0\end{cases}
Provare che
\[|y(x)|\leq 1 \ \ \ \forall x \in [0,+\infty)\]
Vi mostro a cosa avevo pensato, ma non ne sono per niente sicuro:
\[y''=-e^{x}y <0\] in quanto $e^{x}>0 \ \ \forallx\in\mathbb{R}$ e la condizione $y(0)=1$ mi assicura che anche $y>0$.
Poi ho $y'(0)=0$, quindi $x=0$ è punto critico per $y(x)$. Inoltre abbiamo visto $y''<0$, dunque $x=0$ è punto di massimo relativo.
Ovviamente questo vale solo in un intorno di 0, quando dovrei dimostrarlo $\forall x \in [0,+\infty)$
Potreste darmi un consiglio? Grazie mille dell'attenzione!
Risposte
"emanuele_12":
in quanto $e^x>0$ $\forall x \in \mathbb{R}$ e la condizione $y(0)=1$ mi assicura che anche $y>0$
Non vedo come però.
Conviene cercare una relazione tra la soluzione dell'equazione differenziale e la derivata prima. In particolare, considera $g(x)=(y(x))^2 + e^{-x}(y'(x))^2$
Derivando, otterrai $g'(x)=-e^{-x} y'(x)^2 <0$. Perciò, $g(x)$ è decrescente, e siccome $y(x)^2 < g(x)$ si ha in particolare $$y(x)^2 < g(x)
Perciò, per ogni $x>0$: $$|y(x)| \leq 1$$
@ feddy: Bella! Complimenti.
Invece io cercavo di rendere la cosa un po' più lineare con un cambiamento di variabile, ma la situazione era comunque complicata.
Invece io cercavo di rendere la cosa un po' più lineare con un cambiamento di variabile, ma la situazione era comunque complicata.
Grazie gugo !
Onestamente ne avevo visto uno quasi identico (c'era un seno invece che $e^x$) ad esercitazioni di analisi 2 dove andava fatto lo stesso trick
Mancherebbe da mostrare esistenza e unicità adesso che ci penso... credo che riducendo tutto al primo ordine, con membro di destra $f(\vec{y},x)=[y',-e^xy]^t$ si possa dimostrare facilmente la Lipschitzianità locale, right? (sono da cell ora)
Onestamente ne avevo visto uno quasi identico (c'era un seno invece che $e^x$) ad esercitazioni di analisi 2 dove andava fatto lo stesso trick
Mancherebbe da mostrare esistenza e unicità adesso che ci penso... credo che riducendo tutto al primo ordine, con membro di destra $f(\vec{y},x)=[y',-e^xy]^t$ si possa dimostrare facilmente la Lipschitzianità locale, right? (sono da cell ora)
Grazie mille della risposta!
E wow, onestamente non ci sarei mai arrivato. Una cosa: com'è che si svolge la derivata di $g(x)$?
Poi: c'è un criterio con cui poter individuare una funzione $g(x)$ del genere o bisogna andare un po' a tentativi?
Inoltre, chiedo scusa ma non ho ben compreso come dimostrare l'esistenza e unicità. Potrebbe spiegarmelo, per cortesia?
Grazie ancora, gentilissimi!
E wow, onestamente non ci sarei mai arrivato. Una cosa: com'è che si svolge la derivata di $g(x)$?
Poi: c'è un criterio con cui poter individuare una funzione $g(x)$ del genere o bisogna andare un po' a tentativi?
Inoltre, chiedo scusa ma non ho ben compreso come dimostrare l'esistenza e unicità. Potrebbe spiegarmelo, per cortesia?
Grazie ancora, gentilissimi!
Sul forum ci si da del tu! 
$g'(x)=2 y y'(x) - e^{-x}y'(x)^2 +e^{-x}*2y y^{''}(x)$
Ma $y''(x)=...$ (usa l'eq. differenziale)
E' un po' come cercare la funzione di Lyapunov per il sistema $y'' + y=0$ , non so se tu abbia visto questo argomento onestamente. Ad ogni modo, la presenza della derivata seconda induce a cercare una relazione tra $y$ e la sua derivata di quel tipo.
Questo è già più carino: puoi dimostrarne l'esistenza locale usando il classico teorema, cioè mostra che esistono due intorni $I,J$ tale che $f(\vec{y},x)$ è Lipschitziania in $(0,\vec{y}_0)$ rispetto a $\vec{y}$. Nota il simbolo di vettore: il sistema è stato ridotto al primo ordine, perché è in quel contesto che i risultati sono noti. Detto questo, il membro di destra del sistema è descritto dalla funzione vettoriale
$$f([y,y'],x) = [y',-e^{x}y]$$
Lavoriamo in un intorno di $x=0$, i.e. per $|x|0$.
Abbiamo $$\frac{|| f(y_1,y_1',x) - f(y_2,y_2',x)||}{||[y_1'-y_2', y_1-y_2]||} $$
dove la norma è quella euclidea. Svolgendo i conti trovi $$\frac{(y_1' - y_2')^2 + e^{2x}(y_2-y_1)^2}{(y_1'-y_2')^2 + (y_2-y_1)^2}$$
Ora, aggiungo e tolgo $(y_2-y_1)^2$ a numeratore, in modo che l'ultima quantità diventi
$$ 1 + \frac{(y_2-y_1)^2}{(y_1'-y_2')^2 + (y_2-y_1)^2} (e^{2x}- 1)$$
Il coefficienti di $(e^{2x} -1)$ è strettamente minore di $1$, chiamalo $m$. In definitiva, l'ultima quantità è minore di
$$1+m(e^{2a}-1)$$, usando il fatto che $x \mapsto e^{2x}$ è crescente e $|x|
Pertanto hai esistenza e unicità locali
"emanuele_12":
com'è che si svolge la derivata di $g(x)$?
$g'(x)=2 y y'(x) - e^{-x}y'(x)^2 +e^{-x}*2y y^{''}(x)$
Ma $y''(x)=...$ (usa l'eq. differenziale)
"emanuele_12":
Poi: c'è un criterio con cui poter individuare una funzione g(x) del genere o bisogna andare un po' a tentativi?
E' un po' come cercare la funzione di Lyapunov per il sistema $y'' + y=0$ , non so se tu abbia visto questo argomento onestamente. Ad ogni modo, la presenza della derivata seconda induce a cercare una relazione tra $y$ e la sua derivata di quel tipo.
"emanuele_12":
Inoltre, chiedo scusa ma non ho ben compreso come dimostrare l'esistenza e unicità. Potrebbe spiegarmelo, per cortesia?
Questo è già più carino: puoi dimostrarne l'esistenza locale usando il classico teorema, cioè mostra che esistono due intorni $I,J$ tale che $f(\vec{y},x)$ è Lipschitziania in $(0,\vec{y}_0)$ rispetto a $\vec{y}$. Nota il simbolo di vettore: il sistema è stato ridotto al primo ordine, perché è in quel contesto che i risultati sono noti. Detto questo, il membro di destra del sistema è descritto dalla funzione vettoriale
$$f([y,y'],x) = [y',-e^{x}y]$$
Lavoriamo in un intorno di $x=0$, i.e. per $|x|
Abbiamo $$\frac{|| f(y_1,y_1',x) - f(y_2,y_2',x)||}{||[y_1'-y_2', y_1-y_2]||} $$
dove la norma è quella euclidea. Svolgendo i conti trovi $$\frac{(y_1' - y_2')^2 + e^{2x}(y_2-y_1)^2}{(y_1'-y_2')^2 + (y_2-y_1)^2}$$
Ora, aggiungo e tolgo $(y_2-y_1)^2$ a numeratore, in modo che l'ultima quantità diventi
$$ 1 + \frac{(y_2-y_1)^2}{(y_1'-y_2')^2 + (y_2-y_1)^2} (e^{2x}- 1)$$
Il coefficienti di $(e^{2x} -1)$ è strettamente minore di $1$, chiamalo $m$. In definitiva, l'ultima quantità è minore di
$$1+m(e^{2a}-1)$$, usando il fatto che $x \mapsto e^{2x}$ è crescente e $|x|
Pertanto hai esistenza e unicità locali
"feddy":
$g'(x)=2 y y'(x) - e^{-x}y'(x)^2 +e^{-x}*2y y^{''}(x)$
Ma $y''(x)=...$ (usa l'eq. differenziale)
Perfetto, chiarissimo!
"feddy":
E' un po' come cercare la funzione di Lyapunov per il sistema $y'' + y=0$ , non so se tu abbia visto questo argomento onestamente. Ad ogni modo, la presenza della derivata seconda induce a cercare una relazione tra $y$ e la sua derivata di quel tipo.
No, non ho affrontato l'argomento ma ora il metodo è chiaro. Spero di riuscire a impararlo perchè può essere molto utile in effetti.
Anche l'esistenza e unicità è tutto chiarissimo.
Grazie mille davvero!
"emanuele_12":
Buongiorno a tutti!
Sto cercando di risolvere il seguente esercizio:
\begin{cases}y''+e^{x}y=0 \\ y(0)=1 \\ y'(0)=0\end{cases}
Provare che
\[|y(x)|\leq 1 \ \ \ \forall x \in [0,+\infty)\]
Vi mostro a cosa avevo pensato, ma non ne sono per niente sicuro:
\[y''=-e^{x}y <0\] in quanto $e^{x}>0 \ \ \forallx\in\mathbb{R}$ e la condizione $y(0)=1$ mi assicura che anche $y>0$.
Ho visto che c'è stata una bella discussione e che è stato chiarito come non si possa assumere che \(y>0\). Un esempio concreto: se questo argomento fosse valido, dovrebbe essere valido anche per il problema
\[
y''+y=0,\quad y(0)=1, \quad y'(0)=0. \]
Ma la soluzione qui è esplicita: \(y(x)=\cos x\), e questa funzione cambia segno.
Di nulla emanuele.
Come ha mostrato l'esempio di dissonance, per essere positivo dovresti aver mostrato altre proprietà, che prtroppo la tua ODE non ha. Quando viene chiesto di mostrare che è $y(x)>0$ per ogni $x$ (oppure per $x$ in un certo intervallo) spesso basta cercare soluzioni stazionarie e/o lavorare con le derivate. Qui però come vedi informazioni non si riesce a concludere nulla, anche perché dovresti riscrivere tutto al primo ordine e diventa parecchio tedioso
Come ha mostrato l'esempio di dissonance, per essere positivo dovresti aver mostrato altre proprietà, che prtroppo la tua ODE non ha. Quando viene chiesto di mostrare che è $y(x)>0$ per ogni $x$ (oppure per $x$ in un certo intervallo) spesso basta cercare soluzioni stazionarie e/o lavorare con le derivate. Qui però come vedi informazioni non si riesce a concludere nulla, anche perché dovresti riscrivere tutto al primo ordine e diventa parecchio tedioso
dal punto di vista fisico l'equazione rappresenta una forza elastica con costante elastica che aumenta esponenzialmente; non so dimostrarlo matematicamente ma mi aspetterei una soluzione del tipo oscillazione smorzata: di conseguenza la soluzione dovrebbe cambiare continuamente segno
non ho aggiunto un granchè alla vostra discussione ma mi andava di scriverlo
non ho aggiunto un granchè alla vostra discussione ma mi andava di scriverlo
"dissonance":
Ho visto che c'è stata una bella discussione e che è stato chiarito come non si possa assumere che \(y>0\). Un esempio concreto: se questo argomento fosse valido, dovrebbe essere valido anche per il problema
\[
y''+y=0,\quad y(0)=1, \quad y'(0)=0. \]
Ma la soluzione qui è esplicita: \(y(x)=\cos x\), e questa funzione cambia segno.
Ora capisco. Quindi se, ad esempio, in un ipotetico esercizio avessi potuto dire $y(x)>0$, e avessi mostrato $y(x)$ limitata, solo allora avrei potuto concludere come ho fatto io? Mi sbaglio?
"feddy":
Di nulla emanuele.
Come ha mostrato l'esempio di dissonance, per essere positivo dovresti aver mostrato altre proprietà, che prtroppo la tua ODE non ha. Quando viene chiesto di mostrare che è $ y(x)>0 $ per ogni $ x $ (oppure per $ x $ in un certo intervallo) spesso basta cercare soluzioni stazionarie e/o lavorare con le derivate. Qui però come vedi informazioni non si riesce a concludere nulla, anche perché dovresti riscrivere tutto al primo ordine e diventa parecchio tedioso
Chiaro!
Grazie mille a tutti!
"l'abatefarina":
dal punto di vista fisico l'equazione rappresenta una forza elastica con costante elastica che aumenta esponenzialmente;
Sono d'accordo.
non so dimostrarlo matematicamente ma mi aspetterei una soluzione del tipo oscillazione smorzata:
Perché smorzata? Al contrario, io direi una oscillazione che aumenta esponenzialmente in frequenza man mano che \(x\) tende a infinito. L'oscillatore armonico, infatti, è
\[
y''+\omega^2y=0, \]
che ha soluzioni \(\cos(\omega x), \sin(\omega x)\), quindi se \(\omega\) diventa molto grande le oscillazioni diventano ad alta frequenza
no, intendo smorzata nel senso che l'ampiezza massima dell'oscillazione va diminuendo ;infatti voi già avete dimostrato che parte da 1 ma non arriva a -1; non so dimostrarlo matematicamente perchè c'è un "conflitto" difficile da risolvere tra una velocità del punto materiale ,quando passa dall'origine, che potrebbe essere sempre più elevata e una forza frenante sempre più elevata
p.s ho parlato di costante elastica; ovviamente se aumenta esponenzialmente non è una costante; diciamo coefficiente della y che aumenta esponenzialmente e che è invece una costante nel caso più semplice
p.s ho parlato di costante elastica; ovviamente se aumenta esponenzialmente non è una costante; diciamo coefficiente della y che aumenta esponenzialmente e che è invece una costante nel caso più semplice
Ciao a tutti !
Scusate se mi intrometto, ma dato che questo thread mi interessa, volevo sapere come si è arrivati a scegliere questa funzione
Grazie !
Scusate se mi intrometto, ma dato che questo thread mi interessa, volevo sapere come si è arrivati a scegliere questa funzione
"feddy":
Conviene cercare una relazione tra la soluzione dell'equazione differenziale e la derivata prima. In particolare, considera $g(x)=(y(x))^2 + e^{-x}(y'(x))^2$
Grazie !
Ciao BayMax.
Ho cercato di usare le informazioni sulle derivate, che conoscevo e il fatto che $g$ così definita è decrescente. All'inizio non avevo messo $e^{-x}$, l'ho fatto a tentativi onestamente: mi serviva una funzione che fosse sempre positiva ma che la derivata fosse negativa... magari facendo come aveva suggerito gugo si riesce ad arrivare alla soluzione.
Ho cercato di usare le informazioni sulle derivate, che conoscevo e il fatto che $g$ così definita è decrescente. All'inizio non avevo messo $e^{-x}$, l'ho fatto a tentativi onestamente: mi serviva una funzione che fosse sempre positiva ma che la derivata fosse negativa... magari facendo come aveva suggerito gugo si riesce ad arrivare alla soluzione.
@BayMax
$y''e^{-x}+y=0$
$y^{'}y''e^{-x}+yy^{'}=0$
$(\frac{1}{2}(y^{'})^{2})^{'}e^{-x}+\frac{1}{2}(y^{2})'=0$
$(\frac{1}{2}(y^{'})^{2}e^{-x})^{'}+\frac{1}{2}(y^{'})^{2}e^{-x}+\frac{1}{2}(y^{2})^{'}=0$
$(\frac{1}{2}(y^{'})^{2}e^{-x}+\frac{1}{2}y^{2})^{'}=-\frac{1}{2}(y^{'})^{2}e^{-x}$
$((y^{'})^{2}e^{-x}+y^{2})^{'}=-(y^{'})^{2}e^{-x}$
$y''e^{-x}+y=0$
$y^{'}y''e^{-x}+yy^{'}=0$
$(\frac{1}{2}(y^{'})^{2})^{'}e^{-x}+\frac{1}{2}(y^{2})'=0$
$(\frac{1}{2}(y^{'})^{2}e^{-x})^{'}+\frac{1}{2}(y^{'})^{2}e^{-x}+\frac{1}{2}(y^{2})^{'}=0$
$(\frac{1}{2}(y^{'})^{2}e^{-x}+\frac{1}{2}y^{2})^{'}=-\frac{1}{2}(y^{'})^{2}e^{-x}$
$((y^{'})^{2}e^{-x}+y^{2})^{'}=-(y^{'})^{2}e^{-x}$
Grazie davvero ad entrambi @feddy e @qualcuno !
Resta il fatto che di fronte ad una cosa del genere non mi resta che alzare le mani e farvi i miei complimenti perché è davvero oltre le mie capacità, purtroppo. A tal riguardo potrei chiedervi qualche testo di riferimento dove reperire questa roba magari anche con esempi ed esercizi ? Mi sbaglierò sicuramente, ma a me sembra un po' oltre analisi 2. Mi sembra qualcosa di più specifico sulle edo, o, almeno, sui pochi testi di analisi 2 che ho avuto modo di sfogliare, una cosa del genere non l'ho vista trattata.
Resta il fatto che di fronte ad una cosa del genere non mi resta che alzare le mani e farvi i miei complimenti perché è davvero oltre le mie capacità, purtroppo. A tal riguardo potrei chiedervi qualche testo di riferimento dove reperire questa roba magari anche con esempi ed esercizi ? Mi sbaglierò sicuramente, ma a me sembra un po' oltre analisi 2. Mi sembra qualcosa di più specifico sulle edo, o, almeno, sui pochi testi di analisi 2 che ho avuto modo di sfogliare, una cosa del genere non l'ho vista trattata.
Si può anche usare la fisica. L'abatefarina lo ha intuito, qualche post fa; adesso vediamo di rendere quell'intuizione una cosa rigorosa.
Cambio un po' la notazione e riscrivo l'equazione come
\[\tag{1}
\ddot{x}+e^t x=0. \]
Ricordiamo il formalismo lagrangiano; l'equazione del moto di un sistema meccanico, non necessariamente conservativo si scrive
\[\tag{2}
\frac{d}{dt}\left( \frac{\partial L}{\partial \dot x} \right) -\frac{\partial L}{\partial x}=0, \]
dove \(L=L(\dot{x}, x, t)\) è la funzione lagrangiana. L'equazione (1) è esattamente di questa forma se
\[
L(\dot{x}, x, t)=\frac{\dot{x}^2}{2} -e^t \frac{x^2}{2}.\]
Ora consideriamo l'Hamiltoniana
\[H(\dot{x}, x, t)=\frac{\dot{x}^2}{2} +e^t \frac{x^2}{2}. \]
Se non dipendesse esplicitamente da \(t\), questa funzione sarebbe conservata dal moto, ma come giustamente osservato dall'utente "qualcuno", non è il nostro caso. (Ecco perché ho aggiunto la nota in grassetto, qualche riga più su). Nel nostro caso, infatti,
\[
\frac{d}{dt} H(\dot{x}, x, t) = \left( \frac{\partial H}{\partial \dot x} \ddot{x} + \frac{\partial H}{\partial x} \dot{x}\right) + \frac{\partial H}{\partial t} = \frac{\partial H}{\partial t} = e^t \frac{x^2}{2},\]
perché il termine in parentesi tonda è esattamente l'equazione (1), e quindi si annulla.
Concludiamo osservando che la funzione dei post precedenti si può riscrivere come \(2e^{-t}H\). Calcoliamo la derivata
\[
\frac{d}{dt}\left[ e^{-t}H(\dot{x}(t), x(t), t) \right] = -e^{-t} H+ e^{-t}e^t \frac{x^2}{2} = -\frac{e^{-t}\dot{x}^2}2\le 0.\]
Cambio un po' la notazione e riscrivo l'equazione come
\[\tag{1}
\ddot{x}+e^t x=0. \]
Ricordiamo il formalismo lagrangiano; l'equazione del moto di un sistema meccanico, non necessariamente conservativo si scrive
\[\tag{2}
\frac{d}{dt}\left( \frac{\partial L}{\partial \dot x} \right) -\frac{\partial L}{\partial x}=0, \]
dove \(L=L(\dot{x}, x, t)\) è la funzione lagrangiana. L'equazione (1) è esattamente di questa forma se
\[
L(\dot{x}, x, t)=\frac{\dot{x}^2}{2} -e^t \frac{x^2}{2}.\]
Ora consideriamo l'Hamiltoniana
\[H(\dot{x}, x, t)=\frac{\dot{x}^2}{2} +e^t \frac{x^2}{2}. \]
Se non dipendesse esplicitamente da \(t\), questa funzione sarebbe conservata dal moto, ma come giustamente osservato dall'utente "qualcuno", non è il nostro caso. (Ecco perché ho aggiunto la nota in grassetto, qualche riga più su). Nel nostro caso, infatti,
\[
\frac{d}{dt} H(\dot{x}, x, t) = \left( \frac{\partial H}{\partial \dot x} \ddot{x} + \frac{\partial H}{\partial x} \dot{x}\right) + \frac{\partial H}{\partial t} = \frac{\partial H}{\partial t} = e^t \frac{x^2}{2},\]
perché il termine in parentesi tonda è esattamente l'equazione (1), e quindi si annulla.
Concludiamo osservando che la funzione dei post precedenti si può riscrivere come \(2e^{-t}H\). Calcoliamo la derivata
\[
\frac{d}{dt}\left[ e^{-t}H(\dot{x}(t), x(t), t) \right] = -e^{-t} H+ e^{-t}e^t \frac{x^2}{2} = -\frac{e^{-t}\dot{x}^2}2\le 0.\]
e dopo questa, tanti cari saluti a me. Una badilata sulle gengive faceva meno male 
. Con questo messaggio mi stai dicendo tornatene a studiare che ancora devi mettere i denti 
.Solo ammirazione per voi e le vostre capacità, davvero. Complimenti !
"dissonance":
Ora, tutti i sistemi lagrangiani verificano la legge di conservazione dell'Hamiltoniana
La hamiltoniana si conserva se non dipende esplicitamente dal tempo
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