Problema Cauchy - provare che la soluzione è limitata
Buongiorno a tutti!
Sto cercando di risolvere il seguente esercizio:
\begin{cases}y''+e^{x}y=0 \\ y(0)=1 \\ y'(0)=0\end{cases}
Provare che
\[|y(x)|\leq 1 \ \ \ \forall x \in [0,+\infty)\]
Vi mostro a cosa avevo pensato, ma non ne sono per niente sicuro:
\[y''=-e^{x}y <0\] in quanto $e^{x}>0 \ \ \forallx\in\mathbb{R}$ e la condizione $y(0)=1$ mi assicura che anche $y>0$.
Poi ho $y'(0)=0$, quindi $x=0$ è punto critico per $y(x)$. Inoltre abbiamo visto $y''<0$, dunque $x=0$ è punto di massimo relativo.
Ovviamente questo vale solo in un intorno di 0, quando dovrei dimostrarlo $\forall x \in [0,+\infty)$
Potreste darmi un consiglio? Grazie mille dell'attenzione!
Sto cercando di risolvere il seguente esercizio:
\begin{cases}y''+e^{x}y=0 \\ y(0)=1 \\ y'(0)=0\end{cases}
Provare che
\[|y(x)|\leq 1 \ \ \ \forall x \in [0,+\infty)\]
Vi mostro a cosa avevo pensato, ma non ne sono per niente sicuro:
\[y''=-e^{x}y <0\] in quanto $e^{x}>0 \ \ \forallx\in\mathbb{R}$ e la condizione $y(0)=1$ mi assicura che anche $y>0$.
Poi ho $y'(0)=0$, quindi $x=0$ è punto critico per $y(x)$. Inoltre abbiamo visto $y''<0$, dunque $x=0$ è punto di massimo relativo.
Ovviamente questo vale solo in un intorno di 0, quando dovrei dimostrarlo $\forall x \in [0,+\infty)$
Potreste darmi un consiglio? Grazie mille dell'attenzione!
Risposte
@qualcuno: giustissima osservazione. Grazie. Quindi questo NON è un sistema conservativo. Questa cosa l'aveva detta l'abatefarina qualche post fa, ma io non ho colto. In realtà l'abatefarina parlava di "sistema dissipativo", mentre questo è un sistema "accretivo", nel senso che \(\frac{dH}{dt}\ge 0\).
Adesso modifico il post precedente, vediamo se si può salvare qualcosa.
@BayMax: ma che badilate, e allora io sarei sdentato già da secoli.
Adesso modifico il post precedente, vediamo se si può salvare qualcosa.
@BayMax: ma che badilate, e allora io sarei sdentato già da secoli.
Molto bella @dissonance l'idea di utilizzare la Lagrangiana
@emanuele
Ho postato un esercizio con un'ODE del secondo ordine qui in analisi (https://www.matematicamente.it/forum/vi ... 2#p8474512), a mio avviso più semplice di questo.
Ho postato un esercizio con un'ODE del secondo ordine qui in analisi (https://www.matematicamente.it/forum/vi ... 2#p8474512), a mio avviso più semplice di questo.
"feddy":
@emanuele
Ho postato un esercizio con un'ODE del secondo ordine qui in analisi (https://www.matematicamente.it/forum/vi ... 2#p8474512), a mio avviso più semplice di questo.
Grazie mille! Ci darò senz'altro un'occhiata.
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