Problema cauchy ed equazione bernoulli
salve a tutti, ho trovato problemi nell'affrontare questo tipo di esercizio:
${y'=xy+2xy^3$
${y(0)=1$
trovare il + ampio intervallo in cui è definita la soluzione.
adesso essendo equaz di bernoulli ho fatto così:
m=3>0 -> $y(x)=0$ è soluzione
posto $z(x)=y^(1-m)$ e moltiplicando tutta l'equaz per $y^(-m)$ , trovo $z(x)'=-2y^-3 y' $
sostituendo in equaz alla fine avrò $z'=-2xz-4x$ *che è un'equazione differenziale lineare.
risolvo prima l'equazione considerandola a variabili separabili, cioè con -4x=0 e trovo che $z(x)=e^(-x)K$
adesso posto $z(x)=f(x)e^(-x)$ calcolo derivata $z'(x)=f'(x)e^(-x)-f(x)e^(-x)$ e sostituisco in equazione *.
Il primo problema che trovo è quì, cioè andando a sostituire nell'equazione * mi trovo che $f'(x)$ dipende da $f(x)$, cosa che non riesco a procedere visto che poi dovrei fare l'integrale di $f'(x)$ per trovarmi $f(x)$.
grazie
${y'=xy+2xy^3$
${y(0)=1$
trovare il + ampio intervallo in cui è definita la soluzione.
adesso essendo equaz di bernoulli ho fatto così:
m=3>0 -> $y(x)=0$ è soluzione
posto $z(x)=y^(1-m)$ e moltiplicando tutta l'equaz per $y^(-m)$ , trovo $z(x)'=-2y^-3 y' $
sostituendo in equaz alla fine avrò $z'=-2xz-4x$ *che è un'equazione differenziale lineare.
risolvo prima l'equazione considerandola a variabili separabili, cioè con -4x=0 e trovo che $z(x)=e^(-x)K$
adesso posto $z(x)=f(x)e^(-x)$ calcolo derivata $z'(x)=f'(x)e^(-x)-f(x)e^(-x)$ e sostituisco in equazione *.
Il primo problema che trovo è quì, cioè andando a sostituire nell'equazione * mi trovo che $f'(x)$ dipende da $f(x)$, cosa che non riesco a procedere visto che poi dovrei fare l'integrale di $f'(x)$ per trovarmi $f(x)$.
grazie
Risposte
Ma non puoi usare la formula risolutiva per le equazioni lineari? Credo sia molto più semplice.
grazie per la risposta, ma io conosco solo questo metodo per la risoluzione delle lineari.L'altro quale sarebbe?
grazie ancora
grazie ancora
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