Problema: carattere delle serie
Ciao a tutti,
Come faccio a comprovare se effettivamente una serie converge o diverge?
Ad esempio, se voglio verificare che le primitive di un integrale siano proprio quelle trovate, le derivo.
Se ottengo l'integrale di partenza vuol dire che le ho trovate correttamente. Non esiste qualcosa di analogo per le serie?
Date queste serie:
A)
∞
∑ (((n-5)/(n+1))^(n^2))
n=1
sfruttando il limite notevole lim (1+(c/n))^n = e^c
sembrerrebbe risultare <1 e quindi CONVERGERE.
B)
∞
∑ sin((1/2)+(1/(2^n)))
n=0
calcolando il lim n->∞ dell'argomento del seno ottengo (1/2).
Sin (1/2) è <1, sembra Convergere. Ma non è invece una sommatoria di infinitesimi e quindi DIVERGE?
C)
∞
∑ (2^n)/(n+e^n)
n=1
col criterio della radice ottengo lim (2/(((√n)^n) + e)) = 0 che è <1 quindi CONVERGE.
lim (√n)^n non tende invece a 1?
n->∞
Riulterebbe comunque <1 quindi Converge.
Ho commesso errori? che criteri dovrei invece usare?
Si tratta di convergenza assoluta o semplice e perchè?
Grazie a tutti!
-UMA-
Come faccio a comprovare se effettivamente una serie converge o diverge?
Ad esempio, se voglio verificare che le primitive di un integrale siano proprio quelle trovate, le derivo.
Se ottengo l'integrale di partenza vuol dire che le ho trovate correttamente. Non esiste qualcosa di analogo per le serie?
Date queste serie:
A)
∞
∑ (((n-5)/(n+1))^(n^2))
n=1
sfruttando il limite notevole lim (1+(c/n))^n = e^c
sembrerrebbe risultare <1 e quindi CONVERGERE.
B)
∞
∑ sin((1/2)+(1/(2^n)))
n=0
calcolando il lim n->∞ dell'argomento del seno ottengo (1/2).
Sin (1/2) è <1, sembra Convergere. Ma non è invece una sommatoria di infinitesimi e quindi DIVERGE?
C)
∞
∑ (2^n)/(n+e^n)
n=1
col criterio della radice ottengo lim (2/(((√n)^n) + e)) = 0 che è <1 quindi CONVERGE.
lim (√n)^n non tende invece a 1?
n->∞
Riulterebbe comunque <1 quindi Converge.
Ho commesso errori? che criteri dovrei invece usare?
Si tratta di convergenza assoluta o semplice e perchè?
Grazie a tutti!
-UMA-
Risposte
ciao ke io sappia non c'è 1 modo per fare 1 verifica!
al massimo potresti passare dalla serie all'integrale generalizzato e vedere se anke quello converge!
ps- la convergenza è assoluta, se la serie dei valori assoluti converge
al massimo potresti passare dalla serie all'integrale generalizzato e vedere se anke quello converge!
ps- la convergenza è assoluta, se la serie dei valori assoluti converge
ah...cmq è il limite della radice n-esima di n (per n che tende a infinito) a tendere a 1!
Ok, ma secondo voi le serie divergono e/o convergono come ho detto io o sono sbagliate?
ad occhio direi che le prime 2 serie divergono...purtroppo non ho avuto il tempo di verificarle per bene....
Una vostra verifica mi servirebbe perchè voglio capire se sto usando i criteri correttamente.
Dato che non ho la certezza, rischio poi di sbagliarle durante l'esame.
Potreste dirmi che criteri usereste ed eventualmente mostrarmi i passaggi.
Che tipo di serie sono: armoniche, geometriche,....
grazie ancora.
-UMA-
Dato che non ho la certezza, rischio poi di sbagliarle durante l'esame.
Potreste dirmi che criteri usereste ed eventualmente mostrarmi i passaggi.
Che tipo di serie sono: armoniche, geometriche,....
grazie ancora.
-UMA-
"UnderMa":
Ciao a tutti,
Come faccio a comprovare se effettivamente una serie converge o diverge?
Ad esempio, se voglio verificare che le primitive di un integrale siano proprio quelle trovate, le derivo.
Se ottengo l'integrale di partenza vuol dire che le ho trovate correttamente. Non esiste qualcosa di analogo per le serie?
Date queste serie:
A)
∞
∑ (((n-5)/(n+1))^(n^2))
n=1
sfruttando il limite notevole lim (1+(c/n))^n = e^c
sembrerrebbe risultare <1 e quindi CONVERGERE.
Criterio della radice e via: $AAnge 5$
${((n-5)/(n+1))^(n^2)}^(1/n)={(1-6/(n+1))^(n+1)}^((n/(n+1))) rarr e^(-6)<1$
quindi c'è convergenza.
"UnderMa":
B)
∞
∑ sin((1/2)+(1/(2^n)))
n=0
calcolando il lim n->∞ dell'argomento del seno ottengo (1/2).
Sin (1/2) è <1, sembra Convergere. Ma non è invece una sommatoria di infinitesimi e quindi DIVERGE?
Manca la condizione necessaria alla convergenza, poichè come hai giustamente osservato risulta $lim_n sin(1/2+1/(2^n))=sin(1/2)!=0$ (ricordati che se $lim_n a_n !=0$ la serie $\sum a_n$ non può convergere). Inoltre, essendo la tua serie a termini positivi (provalo!), puoi tranquillamente affermare che essa diverge positivamente.
"UnderMa":
C)
∞
∑ (2^n)/(n+e^n)
n=1
col criterio della radice ottengo lim (2/(((√n)^n) + e)) = 0 che è <1 quindi CONVERGE.
lim (√n)^n non tende invece a 1?
n->∞
Riulterebbe comunque <1 quindi Converge.
OCCHIO CHE ${n+e^n}^(1/n)$ NON è UGUALE A $n^(1/n)+e$!
Il tuo professore di Analisi ti fucila se commetti un errore del genere.
Anche qui criterio della radice:
${(2^n)/(n+e^n)}^(1/n)=2/e*1/(1+n/(e^n))^(1/n)le 2/e => "maxlim"_n {(2^n)/(n+e^n)}^(1/n)le 2/e<1$
quindi c'è convergenza.
Però in quest'ultimo caso puoi ragionare pure così: l'$n$-esimo addendo della tua serie è maggiorato da $(2^n)/(e^n)=(2/e)^n$ che è l'addendo $n$-esimo di una serie geometrica convergente (infatti $2/e<1$). Da ciò e dal fatto che la serie assegnata è a termini positivi trai subito che essa converge.
gugo82, perfetto 
nella B) per mostrare che è a termini positivi devo porre l'argomento del seno >=0. Giusto?
nella C) Noti che (2/e)(1/...) è <= (2/e) per via di (1/...) giusto?
La C) è una serie geometrica ma le altre?
Comunque complimentoni!!!!
nella B) per mostrare che è a termini positivi devo porre l'argomento del seno >=0. Giusto?
nella C) Noti che (2/e)(1/...) è <= (2/e) per via di (1/...) giusto?
La C) è una serie geometrica ma le altre?
Comunque complimentoni!!!!
"UnderMa":
nella B) per mostrare che è a termini positivi devo porre l'argomento del seno >=0. Giusto?
Si vede subito che la serie è a termini positivi perchè $AA n in NN,\quad 1/2+1/(2^n) in [0,3/2]subset [0,pi/2]$ e $sin x$ è positiva in $[0,pi/2]$.
"UnderMa":
nella C) Noti che (2/e)(1/...) è <= (2/e) per via di (1/...) giusto?
Sì, perchè $AA n in NN,\quad 1/((1+n/(e^n))^(1/n))le 1$.
"UnderMa":
La C) è una serie geometrica ma le altre?
La C) non è una serie geometrica (perchè il termine generale non è nella forma $lambda^n$ con $lambda$ fissato indipendentemente da $n$), ma si può maggiorare con una serie geometrica convergente.
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