Problema cambio variabili integrale doppio

[loconati]

Ho un problema con il seguente integrale:

$ int int_(D)(x-y)^2/(x^2+y^2) \ dx \ dy $

in cui D={(x,y) | x>=0, y>=0, 1<=x+y<=2}

In teoria per risolverlo bisogna fare un cambiamento di variabile es: x+y=v e x-y=u e poi, dopo aver calcolato il nuovo dominio passare in coordinate polari.
Il problema è che non riesco a modificare il dominio nel modo giusto per questi due cambi di variabile.
Qualcuno puo' aiutarmi?

Grazie in anticipo

Lorenzo

[Sk_Anonymous]

hai provato con le coordinate polari?

[loconati]

si, infatti il mio problema è proprio quello di trovare il dominio con le coordinate polari, in realtà l'integrale è semplice è che trovo difficoltà nel trovare i nuovi domini dopo aver cambiato le variabili

[Sk_Anonymous]

ho trovato lo stesso esercizio sul marcellini-sbordone già risolto ti scrivo come risolve?

[loconati]

Mi faresti un grosso favore perchè non possiedo quel libro.

Grazie!

[Sk_Anonymous]

$ int int_D (x-y)^2/(x^2+y^2) dxdy $
$D= {x>=0, y>=0, 1<=x+y<=2}$
effettuando la sostituzione x-y=u e x+y=v si ricava che
$ int int_A (u)^2/(u^2+v^2) dudv $
dove $ A={1<=v<=2 , -v<=u<=v}
ora esegui un altra trasformazione in coordinate polari molto semplice

[Pdirac]

Un modo è vedere che da $x-y=u, x+y=v$ discende $2x = v+u, 2y=v-u$ e sapendo che $x>=0 => 2x >=0$ e $y>=0 => 2y>=0$ si ha il sistema $v+u>=0, v-u>=0$ da cui ricavi $-v<=u<=v$ (v è immediato)
EDIT: come non detto anticipato

[Sk_Anonymous]

EDIT?

[loconati]

Grazie,
ma dopo aver trovato il dominio A={1≤v≤2,-v≤u≤v}, come diventa il nuovo dominio in coordinate polari?

Grazie

[Sk_Anonymous]

non ne sono sicuro perchè il libro ha dati diversi ma dai miei calcoli
u=r cos(t) v=r sen(t)
$-pi/4<=t<=pi/4 $ e $ 1/cos(t) <= r <= 2/cos(t) $
$ int int r cos^2 (t) dr dt $

vedi se qualcuno può confermarti non sono sicuro dei calcoli

[loconati]

grazie mille,

perfetto! era proprio quello che volevo sapere.

Grazie

[ludwigZero]

"Pdirac":Un modo è vedere che da $x-y=u, x+y=v$ discende $2x = v+u, 2y=v-u$ e sapendo che $x>=0 => 2x >=0$ e $y>=0 => 2y>=0$ si ha il sistema $v+u>=0, v-u>=0$ da cui ricavi $-v<=u<=v$ (v è immediato)
EDIT: come non detto anticipato

quando vado a mettere tali variabili nel mio integrale iniziale ottengo:

$\int int (2 u^2)/(u^2 + v^2) du dv$

dal momento che dalle tue equazioni ottengo:
$x = (v+u)/2, y=(v-u)/2$

faccio i quadrati, così da ottenere $x^2 + y^2$ al denominatore. tale somma è in $u$ $v$:
$x^2 + y^2 = 1/2 (u^2 + v^2)$

come mai sul libro sbordone si ottiene:
$\int int u^2 /(u^2 + v^2) du dv$ ?

dove sbaglio? :S

edit:
altra domanda: come mai nel calcolo delle coordinate polari il $\theta$ è $[- \pi/4, \pi/4]$ ?
non riesco davvero a immaginarlo :% per il $\rho$ invece è stato più intuitivo...