Problema Calcolo del Baricentro
calcolare il baricentro dell'insieme
${(x;y)€R^2: x^2+y^2-2y<=0<=x^2+y^2-2x}$
il risultato del libro è:
$Xb= (-8)/(3pi+6)$
$Yb= (3pi-2)/(3pi+6)$
io ho calcolato D che è $int int dxdy$ e però non mi viene giusto... cioè siccome non è una completa circonferenza io 3/4 li calcolavo con le coordinate polari poi aggiungevo il pezzo che mi mancava calcolato con un normale integrale doppio.. però non veniva bene allora ho provato a usare la formula standard $3/4pir^2$ e l'altro integrale ma niente.. ogni volta mi viene un risultato diverso di D... quindi vi lascio immaginare quanto mi variano Xb e yB e ovviamente mai il risultato giusto...
qualcuno mi aiuta???
questo è l'insieme di definizione disegnato
${(x;y)€R^2: x^2+y^2-2y<=0<=x^2+y^2-2x}$
il risultato del libro è:
$Xb= (-8)/(3pi+6)$
$Yb= (3pi-2)/(3pi+6)$
io ho calcolato D che è $int int dxdy$ e però non mi viene giusto... cioè siccome non è una completa circonferenza io 3/4 li calcolavo con le coordinate polari poi aggiungevo il pezzo che mi mancava calcolato con un normale integrale doppio.. però non veniva bene allora ho provato a usare la formula standard $3/4pir^2$ e l'altro integrale ma niente.. ogni volta mi viene un risultato diverso di D... quindi vi lascio immaginare quanto mi variano Xb e yB e ovviamente mai il risultato giusto...
qualcuno mi aiuta???
questo è l'insieme di definizione disegnato
http://www.wolframalpha.com/input/?i=plot+%28x^2%2By^2-2y%3C%3D0%2C++x^2%2By^2-x%3E%3D0%29
Risposte
non mi sembra di chiedere cose così difficili per un team di matematici 
Non sono sicuro graficamente dell'insieme di definizione.
Comunque, se uso coordinate polari, l'insieme di definizione mi è:
$sin\theta>=\rho/2$, $cos\theta<=\rho/2$, $0<=\rho<=2$.
Così $2cos\theta<=\rho<=2sin\theta$, $\pi/4<=\theta<=\pi$.
Posso semplicemente risolvere l'integrale doppio in $"d"\rho"d"\theta$
Comunque, se uso coordinate polari, l'insieme di definizione mi è:
$sin\theta>=\rho/2$, $cos\theta<=\rho/2$, $0<=\rho<=2$.
Così $2cos\theta<=\rho<=2sin\theta$, $\pi/4<=\theta<=\pi$.
Posso semplicemente risolvere l'integrale doppio in $"d"\rho"d"\theta$
"orazioster":
Non sono sicuro graficamente dell'insieme di definizione.
Comunque, se uso coordinate polari, l'insieme di definizione mi è:
$sin\theta>=\rho/2$, $cos\theta<=\rho/2$, $0<=\rho<=2$.
Così $2cos\theta<=\rho<=2sin\theta$, $\pi/4<=\theta<=\pi$.
Posso semplicemente risolvere l'integrale doppio in $"d"\rho"d"\theta$
non ho capito perché dici che l'insieme è così $\pi/4<=\theta<=\pi$..... io direi che è da $pi/4<=theta<=2pi$
comunque or eseguo i calcoli come penso io e come dici tu e vediamo chi ha ragione
mi spiace ma il tuo insieme è sbagliato.... con i calcoli verrebbe sempre D=1 il che è impossibile perché la soluzione è
$Xb=(-8)/(3pi+6)$
$Yb= (3pi-2)/(3pi +6)$
l'insieme di definizione è questo qui disegnato...
$Xb=(-8)/(3pi+6)$
$Yb= (3pi-2)/(3pi +6)$
l'insieme di definizione è questo qui disegnato...
http://www.wolframalpha.com/input/?i=plot+%28x^2%2By^2-2y%3C%3D0%2C++x^2%2By^2-x%3E%3D0%29
io dicevo $\pi$ perchè il seno non può essere negativo. Infatti lo si verifica
con il grafico!
Il dominio è per $2cos\theta<=\rho<=2sin\theta$ per $\pi/4<=\theta<=\pi/2$.
e $0<=\rho<=2sin\theta$ per $\pi/2<\theta<=\pi$.
Però è inutile,me n'accorsi vedendo il grafico, fare l'integrale per conoscere l'area: è quella di-
3/4 di cerchio di raggio 1
più
l'aerea di un quadrato di lato uno
meno
l'area di 1/4 di cerchio di lato 1.
Così $|D|= \pi/2 +1$
con il grafico!
Il dominio è per $2cos\theta<=\rho<=2sin\theta$ per $\pi/4<=\theta<=\pi/2$.
e $0<=\rho<=2sin\theta$ per $\pi/2<\theta<=\pi$.
Però è inutile,me n'accorsi vedendo il grafico, fare l'integrale per conoscere l'area: è quella di-
3/4 di cerchio di raggio 1
più
l'aerea di un quadrato di lato uno
meno
l'area di 1/4 di cerchio di lato 1.
Così $|D|= \pi/2 +1$
si ma come hai trovato quel dominio??? io mi incasino sostituendo e dopo mi ritrovo disequazioni con troppe variabili!!!
"orazioster":
Il dominio è per $2cos\theta<=\rho<=2sin\theta$ per $\pi/4<=\theta<=\pi/2$.
e $0<=\rho<=2sin\theta$ per $\pi/2<\theta<=\pi$.
è dalle relazioni $2y<=x^2+y^2$ e $x^2+y^2<=2x$,
da cui, passando in coordinate polari, $2cos\theta<=\rho<=2sin\theta$.
Ora, per $\theta>\pi/2$, non posso lasciare $2cos\theta<=\rho$, perchè $\rho$ è $>=0$.
Così, mentre è cortamente vero che, per $\pi/2<\theta<\pi$, $2cos\theta<\rho$ -come
diseguaglianza non stretta, (cioè con "minore o uguale") devo considerare $0<=\rho$.
Altrimenti (oltre l'errore concettuale di considerare $\rho$ negativo) ho giustamente
un errore numerico derivante, visto che l'integrale mi legge $\rho$ andare da una quantita negativa in su.
poi, come ho detto, l'estremo superiore per $\theta$ è $pi$ perchè, ovviamente, il seno, essendo maggiore o uguale a $\rho/2$ deve essere non negativo.
Per come ho calcolato la'rea senza integrale... ho guardato il disegno!
A questo punto sarà semplice calcolare le coordinate del baricentro:
$X_b= 2/(\pi+2)[\int_(\pi/4)^(\pi/2)\int_(2cos\theta)^(2sin\theta)\rho^2cos\theta"d"\theta"d"\rho +$
$+\int_(\pi/2)^(\pi)\int_(0)^(2sin\theta)\rho^2cos\theta"d"\theta"d"\rho]$
$Y_b= 2/(\pi+2)[\int_(\pi/4)^(\pi/2)\int_(2cos\theta)^(2sin\theta)\rho^2sin\theta"d"\theta"d"\rho +$
$+\int_(\pi/2)^(\pi)\int_(0)^(2sin\theta)\rho^2sin\theta"d"\theta"d"\rho]$
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