Problema asintoto obliquo nello studio di funzione

[donkeyking]

Salve a tutti, sto incontrando problemi nel seguente studio di funzione:

f(x) = $ x*e^(1/(x-2) $

Dominio $ x!=2 $

Intersezione assi
$ { ( x=0 ),( y=x*e^(1/(x-2))):} $ -> $ { ( x=0 ),( y=0):} $
$ { ( y=0 ),( 0=x*e^(1/(x-2))):} $ -> va fatto sapendo che l'esponenziale non è mai uguale a 0 ?

Asintoti

Orizzontale no
Verticale sì
Obliquo $ m = $ $ lim_(x -> +oo )(x*e^(1/(x-2)))/x $ -> $lim_(x -> +oo ) e^(1/(x-2)) $ -> $m=1$
$ q = lim_(x -> +oo ) x*e^(1/(x-2))-x ->lim_(x -> +oo ) x*(e^(1/(x-2))-1) $ e ora ? so che l'asintoto obliquo c'è, ma così mi esce +oo
pensavo di ricondurmi al limite notevole $ (e^t-1)/t = 1 $ ma non so come, e neanche se sarebbe corretto. Con l'Hopital non credo esca...suggerimenti ?

[Quinzio]

va fatto sapendo che l'esponenziale non è mai uguale a 0 ?
Si.

pensavo di ricondurmi al limite notevole $(e^t-1)/(t)$ ma non so come

Poni $t=(1)/(x-2)$. Tutto qui.

[donkeyking]

Ok grazie, quindi l'unica intersezione con gli assi si ha nell'origine e c'è un asintoto obliquo in $ y = x+1 $ . Ora ho un'altra domanda, se studio la derivata prima:

$ e^(1/(x-2))+(x*e^(1/(x-2)))*-1/(x-2)^2 = $
$ =e^(1/(x-2))*((x^2-5x+4)/(x-2)^2) $

$ { ( e^(1/(x-2))>0 ),( (x^2-5x-4)/(x-2)^2>0 ):} $ $ { ( sempre ),( x^2-5x+4>0 ),( (x-2)^2>0 ):} $ $ { ( sempre ),( x<1 ^^ x>4 ),( sempre ):} $

minimo in $ (1,1/e) $ massimo in $ (4,4e^(1/2)) $

nel caso i passaggi siano giusti, è necessario calcolare anche la derivata seconda o posso farmi bastare i dati che ho ?
In generale quando posso tralasciare lo studio della derivata seconda ?