Problema antitrasformata di Laplace
Salve a tutti! Come da titolo, ho un problema con la risoluzione di una antitrasformata di Laplace, o meglio, con il procedimento proposto da un mio professore.
L'esercizio è il seguente: antitrasformare $Y(s) = 0.25 / (s*(s^2 +2s + 50))$
Allora, siccome il polinomio di secondo grado è irriducibile, la fattorizzazione sarà del tipo:
$A/s + (Bs+C)/(s^2+2s+50)$
A questo punto, per trovare il coefficiente io avrei fatto, il minimo comune multiplo ed impostato un sistema con le uguaglianze membro a membro. Il professore, invece, adotta un'altra tecnica meno onerosa:
per il calcolo di $A$ applica la regola che discende dal teorema del valore finale: $A = lim_{s \rightarrow 0} s Y(s) = 0.005$
Quindi scrive:
$Y(s) = 0.005/s + (Bs+C)/(s^2+2s+50)$
ed è ora che viene il pezzo che non capisco, pone
$s=1$ che sostituisce in $Y(s)$, ottenendo $b+c = -0.015$
$s=-1$ che sostituisce in $Y(s)$, ottenendo $-b+c=-0.005$
mette a sistema queste due equazioni e velocemente si trova il valore dei coefficienti.
Questo metodo implica un numero di calcoli minore di quelli che farei io, perciò vorrei capire il perché pone $s=1$ ed $s=-1$ e soprattutto se è di validità generale.
Perché nel caso di più residui, mi semplificherebbe la vita in maniera notevole.
Grazie in anticipo.
L'esercizio è il seguente: antitrasformare $Y(s) = 0.25 / (s*(s^2 +2s + 50))$
Allora, siccome il polinomio di secondo grado è irriducibile, la fattorizzazione sarà del tipo:
$A/s + (Bs+C)/(s^2+2s+50)$
A questo punto, per trovare il coefficiente io avrei fatto, il minimo comune multiplo ed impostato un sistema con le uguaglianze membro a membro. Il professore, invece, adotta un'altra tecnica meno onerosa:
per il calcolo di $A$ applica la regola che discende dal teorema del valore finale: $A = lim_{s \rightarrow 0} s Y(s) = 0.005$
Quindi scrive:
$Y(s) = 0.005/s + (Bs+C)/(s^2+2s+50)$
ed è ora che viene il pezzo che non capisco, pone
$s=1$ che sostituisce in $Y(s)$, ottenendo $b+c = -0.015$
$s=-1$ che sostituisce in $Y(s)$, ottenendo $-b+c=-0.005$
mette a sistema queste due equazioni e velocemente si trova il valore dei coefficienti.
Questo metodo implica un numero di calcoli minore di quelli che farei io, perciò vorrei capire il perché pone $s=1$ ed $s=-1$ e soprattutto se è di validità generale.
Perché nel caso di più residui, mi semplificherebbe la vita in maniera notevole.
Grazie in anticipo.
Risposte
Più che una trasformata di Laplace, questo è un problema di decomposizione in fratti semplici. Il metodo che usi tu è quello di forza bruta,e naturalmente va bene ma richiede dei bei conti. Questi qui del tuo prof sono trucchi che uno vede a occhio. Tu devi calcolare due coefficienti, quindi hai bisogno di due equazioni. Valutando ambo i membri in due punti ottieni proprio due equazioni. Chiaramente non ti prendi valori astrusi tipo $s=\text{un milione}$, oppure valori che annullano qualche denominatore.
Grazie mille! E' proprio come dice lei.
In pratica, è consigliabile calcolare i coefficienti dei poli reali semplici o doppi con la regola del limite, mentre per i coefficienti dei polinomi irriducibili è sufficiente imporre un sistema del tipo:
$Y(s) = f a t t o r i z z a z i o n e$
dove nella fattorizzazione sostituisco i coefficienti trovati, al posto della $s$ sostituisco un valore arbitrario e cerco un numero di equazioni, da mettere a sistema, pari alle incognite che mi restano.
Effettivamente è meno oneroso che risolvere un sistema a 5 o 6 variabili, in cui bisogna fare moooolta attenzione, per non sbagliare il calcolo dei coefficienti eheheh.
In pratica, è consigliabile calcolare i coefficienti dei poli reali semplici o doppi con la regola del limite, mentre per i coefficienti dei polinomi irriducibili è sufficiente imporre un sistema del tipo:
$Y(s) = f a t t o r i z z a z i o n e$
dove nella fattorizzazione sostituisco i coefficienti trovati, al posto della $s$ sostituisco un valore arbitrario e cerco un numero di equazioni, da mettere a sistema, pari alle incognite che mi restano.
Effettivamente è meno oneroso che risolvere un sistema a 5 o 6 variabili, in cui bisogna fare moooolta attenzione, per non sbagliare il calcolo dei coefficienti eheheh.
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