Problema ai limiti per EDP del secondo ordine

[CrankNicolson]

Ciao a tutti, in questi giorni sto studiando i problemi ai limiti, per poter affrontare lo studio delle EDP del secondo ordine.
Vorrei chiedervi un chiarimento in merito alla ricerca degli autovalori $\lambda$

Il problema è il seguente:
EDP omogenea:
$ ddot y+\lambda*y=0$
Condizioni a i limiti:
$\{(y(0) + dot y(0) = 0),(y(1) = 0):}$

Per $\lambda<0$ io so che l'integrale generale dovrebbe essere:
$y(x)=c_1*e^((sqrt(-\lambda))*x)+c_2*e^((-sqrt(-\lambda))*x)
Invece il libro mi fornisce il seguente integrale generale:
$y(x)=c_1*cosh((sqrt(-\lambda))*x)+c_2*sinh((sqrt(-\lambda))*x)

So anche che:
$sinh(x)=((e^x)-(e^-x))/2$
e che
$cosh(x)=((e^x)+(e^-x))/2$

Qualcuno mi saprebbe dire:
1) quale delle 2 formule dell'integrale generale è giusta
2)se sono giuste entrambe come si fa per passare dalla prima formula alla seconda?

Grazie a tutti,
CIAO!

[gugo82]

"CrankNicolson":Il problema è il seguente:
EDP omogenea:
$ ddot y+\lambda*y=0$
Condizioni a i limiti:
$\{(y(0) + dot y(0) = 0),(y(1) = 0):}$

Per $\lambda<0$ io so che l'integrale generale dovrebbe essere:
$y(x)=c_1*e^((sqrt(-\lambda))*x)+c_2*e^((-sqrt(-\lambda))*x)
Invece il libro mi fornisce il seguente integrale generale:
$y(x)=c_1*cosh((sqrt(-\lambda))*x)+c_2*sinh((sqrt(-\lambda))*x)

So anche che:
$sinh(x)=((e^x)-(e^-x))/2$
e che
$cosh(x)=((e^x)+(e^-x))/2$

Qualcuno mi saprebbe dire:
1) quale delle 2 formule dell'integrale generale è giusta
2)se sono giuste entrambe come si fa per passare dalla prima formula alla seconda?

Grazie a tutti,
CIAO!

Le formule sono del tutto equivalenti: infatti basta scegliere opportunamente le costanti $c_1,c_2$ per passare dall'una all'altra rappresentazione dell'integrale generale.
Questo è un fatto banale della teoria delle EDO lineari: se $y_1,y_2$ sono integrali linearmente indipendenti di un'EDO del second'ordine allora, comunque si scelgano le costanti $a,b,c,d in RR$ in modo che $|(a,b),(c,d)|!=0$, le funzioni $bary_1=a*y_1+b*y_2$ ed $bary_2=c*y_1+d*y_2$ sono integrali indipendenti della stessa equazione omogenea.

Probabilmente il libro sceglie la rappresentazione con le funzioni iperboliche perchè gli torna comodo in qualche calcolo, oppure in qualche altra situazione che non so.

Buono studio.

[Fioravante Patrone1]

"Gugo82":
Probabilmente il libro sceglie la rappresentazione con le funzioni iperboliche perchè gli torna comodo in qualche calcolo, oppure in qualche altra situazione che non so.

Secondo me la usa per accentuare la somiglianza con il caso in cui le soluzioni sono le funzioni trigonometriche.
Ovvero, rispetto al caso in cui $\lambda > 0$.
Cosa che penso possa servire per poi mettere in evidenza il diverso comportamento che si ha rispetto al problema ai limiti omogeneo.

[CrankNicolson]

Corretta osservazione, infatti imponendo le condizioni ai limiti si osserva che il pb per $\lambda<0$ ammette solo la soluzione banale e quindi gli autovalori si ottengono solo nel caso $\lambda>0$ e l'integrale generale è espresso con funzioni trigonometriche:

$y=c_1*cos((sqrt\lambda)*x)+c_2*sin((sqrt\lambda)*x)

In merito agli integrali generali equivalenti: ok, mi è chiara l'equivalenza fra le 2 formule, ma algebricamente come arrivo dalla prima alla seconda?

Thanks...

[CrankNicolson]

Ci sono arrivato:
applicando le condizioni ai limiti si sviluppa il sistema, lo scrive in forma matriciale e si calcola il dterminante.
si dividon entrambi membri per due, e si riescon ad applicare le formule di trasformazione nelle funzioni seno e coseno iperbolici.