Problema agli autovalori
Ho un dubbio.
Conosco la soluzione di equazioni agli autovalori del tipo
$y''+\lambda y$=0
per i casi $\lambda$ maggior uguale o minore di zero.
Non ho assolutamente idea invece di come si risolva un problema del tipo
$y''+y'+\lambda y=0$
Ho una mezza idea sul un esponenziale ma niente di più e non ho idea di dove cercare (non ho libri in proposito).
Diamine, ho sbagliato sezione, c'è un modo per spostare il topic?
Conosco la soluzione di equazioni agli autovalori del tipo
$y''+\lambda y$=0
per i casi $\lambda$ maggior uguale o minore di zero.
Non ho assolutamente idea invece di come si risolva un problema del tipo
$y''+y'+\lambda y=0$
Ho una mezza idea sul un esponenziale ma niente di più e non ho idea di dove cercare (non ho libri in proposito).
Diamine, ho sbagliato sezione, c'è un modo per spostare il topic?
Risposte
Non hai sbagliato sezione, la domanda è di analisi! 
Quello che tu cerchi è il metodo generale di risoluzione di una equazione differenziale ordinaria del secondo ordine a coefficienti costanti. Ti faccio uno schema riassuntivo, ma se cerchi sul sito di matematicamente, certamente troverai una risposta più esauriente. Allora, all'equazione precedente puoi associare l'equazione algebrica
$t^2+t+\lambda=0$ il cui discriminante è pari a $\Delta=1-4\lambda$. A seconda dell'esistenza o meno di radici reali o complesse di tale equazione, hai allora le seguenti soluzioni:
1) se $\Delta>0$, e quindi $\lambda<1/4$, allora hai le radici $t_{1,2}=\frac{-1+\pm\sqrt{1-4\lambda}}{2}$ e la soluzione dell'equazione
$y(x)=C_1 e^{t_1 x}+C_2 e^{t_2 x}$, con $C_i$ costanti reali arbitrarie.
2) se $\Delta=0$, e quindi $\lambda=1/4$, hai due radici coincidenti $t_{1,2}=-1/2$ e la soluzione dell'equazione
$y(x)=(C_1+C_2 x)e^{-x/2}$, con $C_i$ costanti reali arbitrarie.
3) se $\Delta<0$, e quindi $\lambda>1/4$, hai le soluzioni complesse coniugate $t_{1,2}=\frac{-1\pm i\sqrt{4\lambda-1}}{2}$, da cui, ponendo $\omega=\sqrt{4\lambda-1}/2$, le soluzioni dell'equazione
$y(x)=e^{-x/2}(A\cos(\omega x)+B\sin(\omega x))$, con $A,B$ costanti reali.
Comunque, se guardi su un qualsiasi libro di analisi è spiegato in dettaglio come e perché arrivare a tale risultato!
Quello che tu cerchi è il metodo generale di risoluzione di una equazione differenziale ordinaria del secondo ordine a coefficienti costanti. Ti faccio uno schema riassuntivo, ma se cerchi sul sito di matematicamente, certamente troverai una risposta più esauriente. Allora, all'equazione precedente puoi associare l'equazione algebrica$t^2+t+\lambda=0$ il cui discriminante è pari a $\Delta=1-4\lambda$. A seconda dell'esistenza o meno di radici reali o complesse di tale equazione, hai allora le seguenti soluzioni:
1) se $\Delta>0$, e quindi $\lambda<1/4$, allora hai le radici $t_{1,2}=\frac{-1+\pm\sqrt{1-4\lambda}}{2}$ e la soluzione dell'equazione
$y(x)=C_1 e^{t_1 x}+C_2 e^{t_2 x}$, con $C_i$ costanti reali arbitrarie.
2) se $\Delta=0$, e quindi $\lambda=1/4$, hai due radici coincidenti $t_{1,2}=-1/2$ e la soluzione dell'equazione
$y(x)=(C_1+C_2 x)e^{-x/2}$, con $C_i$ costanti reali arbitrarie.
3) se $\Delta<0$, e quindi $\lambda>1/4$, hai le soluzioni complesse coniugate $t_{1,2}=\frac{-1\pm i\sqrt{4\lambda-1}}{2}$, da cui, ponendo $\omega=\sqrt{4\lambda-1}/2$, le soluzioni dell'equazione
$y(x)=e^{-x/2}(A\cos(\omega x)+B\sin(\omega x))$, con $A,B$ costanti reali.
Comunque, se guardi su un qualsiasi libro di analisi è spiegato in dettaglio come e perché arrivare a tale risultato!
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