Probl con f(x) di periodo T
Ciao a tutti avrei un nuovo probl da proporre:
data una f(x) con periodo T, derivabile.
dimostrare che in ogni intervallo di lunghezza T la f(x) ha almeno due punti in cui la derivata si annulla
Modificato da - Sephirot il 27/11/2003 11:41:02
data una f(x) con periodo T, derivabile.
dimostrare che in ogni intervallo di lunghezza T la f(x) ha almeno due punti in cui la derivata si annulla
Modificato da - Sephirot il 27/11/2003 11:41:02
Risposte
Abbozzo una dimostrazione, anche se non so quanto rigorosa. Escludiamo il caso banale di una retta parallela all’asse x.
La f(x) è periodica, ciò implica che esistono due valori a e b tali che f(a) = f(b) e che f’(a) = f’(b). La funzione però non può essere monotona poiché f(a) = f(b). Per semplicità pongo f(a) = 0, in caso diverso si tratta solo di fare una traslazione. Esiste un teorema che afferma: Sia f continua in un intervallo I (per noi [a;b]), se f assume valori positivi e negativi allora essa si annulla in almeno un punti di I.
La f(x) è continua (per ipotesi è derivabile), f’(a) = f’(b) ma non è monotona e f(a) = f(b) = 0, quindi assume valori positivi e negativi. Chiamo c il punto dove f(x) si annulla.
A questo punto applico Rolle nell’intervallo [a;c] e [c;b]. Rolle afferma che: se la f(x) è continua in [a;c] e derivabile nell’intervallo aperto ]a;b[, ed è f(a) = f(c), esiste almeno un punto d, interno ad ]a;c[, tale che f’(d) =0.
Noi abbiamo due intervalli, quindi in due punti si annulla la derivata.
WonderP.
La f(x) è periodica, ciò implica che esistono due valori a e b tali che f(a) = f(b) e che f’(a) = f’(b). La funzione però non può essere monotona poiché f(a) = f(b). Per semplicità pongo f(a) = 0, in caso diverso si tratta solo di fare una traslazione. Esiste un teorema che afferma: Sia f continua in un intervallo I (per noi [a;b]), se f assume valori positivi e negativi allora essa si annulla in almeno un punti di I.
La f(x) è continua (per ipotesi è derivabile), f’(a) = f’(b) ma non è monotona e f(a) = f(b) = 0, quindi assume valori positivi e negativi. Chiamo c il punto dove f(x) si annulla.
A questo punto applico Rolle nell’intervallo [a;c] e [c;b]. Rolle afferma che: se la f(x) è continua in [a;c] e derivabile nell’intervallo aperto ]a;b[, ed è f(a) = f(c), esiste almeno un punto d, interno ad ]a;c[, tale che f’(d) =0.
Noi abbiamo due intervalli, quindi in due punti si annulla la derivata.
WonderP.
Questo e' il mio ragionamento( forse piu' intuitivo
che rigoroso).
Premettiamo che una funzione periodica (e continua) non puo'
essere monotona,altrimenti non potrebbe assumere gli
stessi valori ad intervalli regolari.
Sia "a" un qualunque punto;essendo f(a)=f(a+T)
per Rolle esistera' almeno un punto c (a
realta', ce ne sono almeno due.
Ragioniamo per assurdo e supponiamo che "c" sia unico.
Questo punto non puo' essere un flesso per quanto
premesso;esso ,pertanto,sara' un punto di estremo,diciamo
un massimante.Analogamente nell'intervallo (a+T,a+2T)
vi sara' un massimante c1.
Pertanto f(x) risulterebbe decrescente in (c,a+T)
e crescente in (a+T,a+2T): da cio' ne deriverebbe
che o il punto a+T corrisponde ad un punto cuspidale
o ad un minimante,casi entrambi da escludere.
Il primo perche' f(x) e' continua,il secondo perche'
si e' supposto essere c e c1 gli unici estremanti in
(a,a+2T).Dunque c non puo' essere unico.
karl.
che rigoroso).
Premettiamo che una funzione periodica (e continua) non puo'
essere monotona,altrimenti non potrebbe assumere gli
stessi valori ad intervalli regolari.
Sia "a" un qualunque punto;essendo f(a)=f(a+T)
per Rolle esistera' almeno un punto c (a
realta', ce ne sono almeno due.
Ragioniamo per assurdo e supponiamo che "c" sia unico.
Questo punto non puo' essere un flesso per quanto
premesso;esso ,pertanto,sara' un punto di estremo,diciamo
un massimante.Analogamente nell'intervallo (a+T,a+2T)
vi sara' un massimante c1.
Pertanto f(x) risulterebbe decrescente in (c,a+T)
e crescente in (a+T,a+2T): da cio' ne deriverebbe
che o il punto a+T corrisponde ad un punto cuspidale
o ad un minimante,casi entrambi da escludere.
Il primo perche' f(x) e' continua,il secondo perche'
si e' supposto essere c e c1 gli unici estremanti in
(a,a+2T).Dunque c non puo' essere unico.
karl.
Una correzione:dove e' scritto "...e crescente
in (a+T,a+2T)...." va letta cosi':
"...e crescente in (a+T,c1)...".
karl.
in (a+T,a+2T)...." va letta cosi':
"...e crescente in (a+T,c1)...".
karl.
Bella dimostrazione karl, aggiungo solo una piccola cosa alle conclusioni
Essendo la funzione derivabile non esistono discontinuità nella derivata, quindi se si hanno estremanti questi avranno derivata nulla.
Prima non era stato escluso, ad esempio, il caso y = |cosx|
WonderP.
citazione:
Il primo perche' f(x) e' continua,il secondo perche'
si e' supposto essere c e c1 gli unici estremanti in
(a,a+2T).Dunque c non puo' essere unico.
Essendo la funzione derivabile non esistono discontinuità nella derivata, quindi se si hanno estremanti questi avranno derivata nulla.
Prima non era stato escluso, ad esempio, il caso y = |cosx|
WonderP.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo