Principio d'induzione matematica
Salve ragazzi sto dimostrando che
$ sumk^2 =(n(n+1) (2n+1))/6 $
con k che varia da 1 a n.
Mi è chiaro la dimostrazione con il principio d'induzione solo che non capisco un passaggio:
quando dimostro che l'identità sia vera per n+1 arrivo a
$ (n(n+1) (2n+1))/6+ (n+1)^2= (n+1)/6 (2n^2+7n+6) $
ma l'equazione di secondo grado ha come soluzioni:
n=-2 e n=-3/2
che non sono naturali!!!!
Ma il principio non prevede che i numeri siano naturali???
Grazie delle risposte
$ sumk^2 =(n(n+1) (2n+1))/6 $
con k che varia da 1 a n.
Mi è chiaro la dimostrazione con il principio d'induzione solo che non capisco un passaggio:
quando dimostro che l'identità sia vera per n+1 arrivo a
$ (n(n+1) (2n+1))/6+ (n+1)^2= (n+1)/6 (2n^2+7n+6) $
ma l'equazione di secondo grado ha come soluzioni:
n=-2 e n=-3/2
che non sono naturali!!!!
Ma il principio non prevede che i numeri siano naturali???
Grazie delle risposte
Risposte
E quindi? Se scomponi $2n^2+7n+6$ cosa ottieni?
Ottengo -2 e -3/2 che non sono numeri naturali e quindi non dovrebbero essere accettate come soluzioni dato che il principio attiene a numeri naturali!!!!
Non ti ho chiesto le soluzioni che sono comunque giuste. Ti ho chiesto di scomporlo!
Si scompone in 2(n-n1) (n-n2)
dove n1 e n2 sono le soluzioni dell'equazione di secondo grado
dove n1 e n2 sono le soluzioni dell'equazione di secondo grado
E quindi? Continua con i calcoli.
$ sumk^2 =(n+1)/6 (2n^2+7n+6)=(n+1)/6 2(n+2) (n+3/2)=(n+1)/6 (n+2)(2n+3) $
Ma forse non hai capito il problema che ho, il mio problema è che stando nell'insieme dei numeri naturali le soluzioni dell'equazione di secondo grado non dovrebbero essere numeri naturali???
Ma forse non hai capito il problema che ho, il mio problema è che stando nell'insieme dei numeri naturali le soluzioni dell'equazione di secondo grado non dovrebbero essere numeri naturali???
Prova disegnare la parabola di equazione $y=2x^2+7x+6$.
Ho disegnato la parabola di vertice V(-7/4;-1/8), intercetta l'asse delle x in -2 e -3/2 ma ancora non riesco a vedere ciò che dovrei vedere. Potresti suggerirmi qualcosa???
Da $1$ in poi la $f(x)$ mi da valori naturali se le $x$ sono naturali?
Si, mi dà numeri naturali. Così mi è chiaro da questo punto di vista ciò non toglie che la risoluzione dell'equazione mi induceva in errore.
L'ultima domanda: @anonymous_c5d2a1 mi sapresti dire in modo diretto senza riferirti alla parabola (che ho capito e mi trovo con la storia se x è naturale allora f(x) è naturale) perchè le soluzioni dell'equazione di secondo grado possono non appartenere ad N dato che la variabile n appartiene ad N?
Quello che voglio dire è che mi è chiaro l'esempio della parabola però non trovo l'errore nel ragionamento sull'equazione...
L'ultima domanda: @anonymous_c5d2a1 mi sapresti dire in modo diretto senza riferirti alla parabola (che ho capito e mi trovo con la storia se x è naturale allora f(x) è naturale) perchè le soluzioni dell'equazione di secondo grado possono non appartenere ad N dato che la variabile n appartiene ad N?
Quello che voglio dire è che mi è chiaro l'esempio della parabola però non trovo l'errore nel ragionamento sull'equazione...
Quando studi l'equazione equazione $ax^2+bx+c=0$ nulla viene detto sui coefficienti $b$ e $c$, ma solo $a!=0$
@Gianky
Scusami, ma dove sta il problema?
Non stai risolvendo l'equazione ... risolverla significherebbe uguagliarla a zero ... ma per quale motivo quell'espressione dovrebbe valere zero (in quel contesto) ? Detto in altro modo, tu hai deciso che quella espressione debba valere zero perché ha la forma di un'equazione di secondo grado, ma non c'è ragione per cui debba essere così; sei tu che l'hai deciso.
Cordialmente, Alex
Scusami, ma dove sta il problema?
Non stai risolvendo l'equazione ... risolverla significherebbe uguagliarla a zero ... ma per quale motivo quell'espressione dovrebbe valere zero (in quel contesto) ? Detto in altro modo, tu hai deciso che quella espressione debba valere zero perché ha la forma di un'equazione di secondo grado, ma non c'è ragione per cui debba essere così; sei tu che l'hai deciso.
Cordialmente, Alex
L'uguaglianza da te ottenuta è
\(\displaystyle \sum k^2=\frac{n+1}{6} \cdot \left(2n^2+7n+6\right) \)
In questa uguaglianza le $n$ sono naturali. Se poni ora
\(\displaystyle 2n^2+7n+6=0 \)
Dovresti trovare le soluzioni che ti portano a riscrivere l'equazione nel seguente modo
\(\displaystyle 2n^2+7n+6=2(n-n_1)(n-n_2) \)
Quindi se imponi il primo membro diverso da zero, allora devi imporre anche il secondo membro diverso da zero, ottenendo un'uguaglianza equivalente indipendente dal valore di $n$ che in questo caso deve essere un valore intero.
\(\displaystyle \sum k^2=\frac{n+1}{6} \cdot \left(2n^2+7n+6\right) \)
In questa uguaglianza le $n$ sono naturali. Se poni ora
\(\displaystyle 2n^2+7n+6=0 \)
Dovresti trovare le soluzioni che ti portano a riscrivere l'equazione nel seguente modo
\(\displaystyle 2n^2+7n+6=2(n-n_1)(n-n_2) \)
Quindi se imponi il primo membro diverso da zero, allora devi imporre anche il secondo membro diverso da zero, ottenendo un'uguaglianza equivalente indipendente dal valore di $n$ che in questo caso deve essere un valore intero.
Ah menomale non riuscivo a capire neanche io quale era il suo problema!
Ragazzi ho capito comunque, grazie a tutti per le risposte e perdonate la mia ignoranza!!!
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