Principio di sostituzione infinitesimi e Mac Laurin
Salve,
volevo sapere come applicare il principio di sostituzione degli infinitesimi noto lo sviluppo di Taylor-Mac Laurin di una funzione. Per esempio quando ho studiato le successioni il prof ci ha detto che il binomio $\frac{1}{n}-\sin \frac{1}{n}$ è sostituibile con $\frac{1}{6n^3}$ e tale sostituzione è motivabile attraverso lo sviluppo di Taylor.
Ora mi domando ma essendo $\frac{1}{n}-\sin \frac{1}{n}$ una differenza di infinitesimi dello stesso ordine, perchè si va a sostituire un infinitesimo di ordine 3 come appunto $\frac{1}{6n^3}$ ?
Guardando lo sviluppo della funzione $\sinx$ fino all'infinitesimo di ordine 3 mi sono accorto che effettivamente $\sinx-x=-\frac{x^3}{6}$ da cui $x-\sin x=\frac{x^3}{6}$ , ma la cosa mi confonde un pò perchè credevo che quando si sostituisce un infinitesimo con il suo sviluppo, lo si sostituisce fino all'infinitesimo dello stesso ordine.
Grazie.
volevo sapere come applicare il principio di sostituzione degli infinitesimi noto lo sviluppo di Taylor-Mac Laurin di una funzione. Per esempio quando ho studiato le successioni il prof ci ha detto che il binomio $\frac{1}{n}-\sin \frac{1}{n}$ è sostituibile con $\frac{1}{6n^3}$ e tale sostituzione è motivabile attraverso lo sviluppo di Taylor.
Ora mi domando ma essendo $\frac{1}{n}-\sin \frac{1}{n}$ una differenza di infinitesimi dello stesso ordine, perchè si va a sostituire un infinitesimo di ordine 3 come appunto $\frac{1}{6n^3}$ ?
Guardando lo sviluppo della funzione $\sinx$ fino all'infinitesimo di ordine 3 mi sono accorto che effettivamente $\sinx-x=-\frac{x^3}{6}$ da cui $x-\sin x=\frac{x^3}{6}$ , ma la cosa mi confonde un pò perchè credevo che quando si sostituisce un infinitesimo con il suo sviluppo, lo si sostituisce fino all'infinitesimo dello stesso ordine.
Grazie.
Risposte
Mmm.. guarda io ti direi questo: tutto dipende dal grado di approssimazione che vuoi usare.
Se ti volessi fermare al primo termine allora avresti $1/n - 1/n + o(n^2)$ e trascurando l'altro termine infinitesimo, potresti affermare che 1/n e sin/n tendono a zero in egual maniera.
Se invece tale approssimazione non ti bastasse, potresti procedere fino al secondo termine ( che poi sarebbe il terzo ordine ). In tal caso avresti, per l'appunto $1/n - (1/n - 1/(3!n^3) + o(x^4)) = 1/(6n^3) + o(x^4)$. Tralasciando sempre l'infinitesimo di ordine inferiore, avresti il risultato che il tuo professore ti ha dato.
Quindi, tecnicamente, potresti scrivere quanti termini desideri, in base anche a come è strutturata la tua equazione. Nel tuo caso il professore si è arrestato al terzo ordine per mostrare che effettivamente $ sin(1/n) $ e $1/n$ non tendono a zero in egual maniera, ma approssimativamente.
Se ti volessi fermare al primo termine allora avresti $1/n - 1/n + o(n^2)$ e trascurando l'altro termine infinitesimo, potresti affermare che 1/n e sin/n tendono a zero in egual maniera.
Se invece tale approssimazione non ti bastasse, potresti procedere fino al secondo termine ( che poi sarebbe il terzo ordine ). In tal caso avresti, per l'appunto $1/n - (1/n - 1/(3!n^3) + o(x^4)) = 1/(6n^3) + o(x^4)$. Tralasciando sempre l'infinitesimo di ordine inferiore, avresti il risultato che il tuo professore ti ha dato.
Quindi, tecnicamente, potresti scrivere quanti termini desideri, in base anche a come è strutturata la tua equazione. Nel tuo caso il professore si è arrestato al terzo ordine per mostrare che effettivamente $ sin(1/n) $ e $1/n$ non tendono a zero in egual maniera, ma approssimativamente.
Cioè vuoi dire che per esempio al posto di $[\frac{1}{n}-\sin (\frac{1}{n})]$ anzichè sostituire $\frac{1}{6n^3}$ avrei potuto sostituire benissimo persino $\frac{1}{6n^3}-\frac{1}{120n^5}$ ?
Si. Fai caso che comunque più è grande l'esponente migliore è l'approssimazione... ma sempre di infinitesimi si tratta. Cioè, se ti ritrovassi con una cosa del tipo $lim_{n} \frac { 1/n - 1/(6n^3) } { \sin x }$ allora ti converrebbe sviluppare fino al secondo termine per far quadrare i conti esattamente..
( In realtà non sarebbe neanche necessario in questo caso perchè l'$1/n$ è più forte dell' $1/n^3$ per n infinitamente grande. )
( In realtà non sarebbe neanche necessario in questo caso perchè l'$1/n$ è più forte dell' $1/n^3$ per n infinitamente grande. )
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