Principio di massimo per funzioni subarmoniche
La dimostrazione che possiedo di questo teorema non mi convince affatto.
Teorema: Sia [tex]\Omega \subset \mathbb{R}^2[/tex] un aperto connesso, [tex]u \in \mathcal{C}^2(\Omega)[/tex] funzione subarmonica non costante. Allora [tex]u[/tex] non ammette punti di massimo relativo.
Dimostrazione: (quella che possiedo io e che non mi convince) Supponiamo per assurdo che u ammetta un punto di massimo relativo [tex]p \in \Omega,\ u(p)= M[/tex]. Allora [tex]\exists\ r > 0\ t.c.\ \forall\ x \in B_r(p):\ u(x) \leq M[/tex]. Poiché u è subarmonica vale la "sub-(MVP)", quindi: [tex]M = u(p) \leq \frac{1}{\pi r^2} \int_{B_r(p)} u(x) dx \leq \frac{1}{\pi r^2} \int_{B_r(p)} M dx = M[/tex], cioè [tex]u = M[/tex] su [tex]B_r(p)[/tex] (perché u-M è continua). Pertanto l'insieme [tex]\underline{u^{-1}(M)}[/tex] è aperto , non vuoto e chiuso, quindi per la connessione di [tex]\Omega[/tex] coincide con quest'ultimo, cioè u è costante, contro l'ipotesi. c.v.d.
La parte che non mi convince è quella sottolineata. Non riesco a capire perché quell'insieme sia aperto. Se in un punto di [tex]\Omega[/tex] u vale M, non è detto che questo sia un punto di massimo relativo (proprio perché non è assoluto ma relativo), quindi non posso ripetere lo stesso ragionamento per trovare la palla di raggio r... Ho pensato di considerare l'insieme dei punti di massimo relativo per fare un ragionamento analogo: questo è aperto, ma non so provare che è un chiuso, questa volta...
P.S.: qual è il codice LaTeX per il simbolo di media integrale (l'integrale con la barretta)?
Teorema: Sia [tex]\Omega \subset \mathbb{R}^2[/tex] un aperto connesso, [tex]u \in \mathcal{C}^2(\Omega)[/tex] funzione subarmonica non costante. Allora [tex]u[/tex] non ammette punti di massimo relativo.
Dimostrazione: (quella che possiedo io e che non mi convince) Supponiamo per assurdo che u ammetta un punto di massimo relativo [tex]p \in \Omega,\ u(p)= M[/tex]. Allora [tex]\exists\ r > 0\ t.c.\ \forall\ x \in B_r(p):\ u(x) \leq M[/tex]. Poiché u è subarmonica vale la "sub-(MVP)", quindi: [tex]M = u(p) \leq \frac{1}{\pi r^2} \int_{B_r(p)} u(x) dx \leq \frac{1}{\pi r^2} \int_{B_r(p)} M dx = M[/tex], cioè [tex]u = M[/tex] su [tex]B_r(p)[/tex] (perché u-M è continua). Pertanto l'insieme [tex]\underline{u^{-1}(M)}[/tex] è aperto , non vuoto e chiuso, quindi per la connessione di [tex]\Omega[/tex] coincide con quest'ultimo, cioè u è costante, contro l'ipotesi. c.v.d.
La parte che non mi convince è quella sottolineata. Non riesco a capire perché quell'insieme sia aperto. Se in un punto di [tex]\Omega[/tex] u vale M, non è detto che questo sia un punto di massimo relativo (proprio perché non è assoluto ma relativo), quindi non posso ripetere lo stesso ragionamento per trovare la palla di raggio r... Ho pensato di considerare l'insieme dei punti di massimo relativo per fare un ragionamento analogo: questo è aperto, ma non so provare che è un chiuso, questa volta...
P.S.: qual è il codice LaTeX per il simbolo di media integrale (l'integrale con la barretta)?
Risposte
Curioso, proprio dieci minuti fa mi sono posto la stessa domanda, arrivando alla stessa conclusione tua. Infatti anche io non sono convinto da quel ragionamento. Così si dimostra che $u$ è costante sulla sfera $B_r(p)$, su cui $M$ è un massimo assoluto, non su tutto $Omega$.
Ma infatti ora che ci penso mi sa che è falso. Prendi la funzione $f(x)={(-x^2, x>0), (0, x<=0):}$. Mi pare che sia subarmonica, no? E però tutto il semiasse ${x<=0}$ è fatto da punti di massimo relativo.
[EDIT] No aspetta aspetta. Il mio esempio non va bene perché non è $C^2$. Prova questo, però:
$f(x)={(-x^3, x>0), (0, x<=0):}$.
Ma infatti ora che ci penso mi sa che è falso. Prendi la funzione $f(x)={(-x^2, x>0), (0, x<=0):}$. Mi pare che sia subarmonica, no? E però tutto il semiasse ${x<=0}$ è fatto da punti di massimo relativo.
[EDIT] No aspetta aspetta. Il mio esempio non va bene perché non è $C^2$. Prova questo, però:
$f(x)={(-x^3, x>0), (0, x<=0):}$.
Si, quella è subarmonica, però è di una sola variabile, e penso che questo sia importante. Nella dimostrazione che ho io (e penso che sia la stessa tua, visto che il corso che abbiamo seguito è lo stesso 
) si usa la geometria di [tex]\mathbb{R}^2[/tex] per dimostrare che una funzione è subarmonica se e solo se ha la "sub-(MVP)" (si usano le coordinate polari); poi non so, forse vale anche per altre dimensioni.
Però l'esempio che hai fornito tu mi convince che questo non possa valere in dimensione 1. Infatti il teorema che ho dimostrato prima, sicuramente dimostra che una funzione subarmonica non costante non ammette punti di massimo assoluto. La funzione f del tuo esempio ha l'asse negativo fatto da punti di massimo assoluto pur essendo subarmonica e non costante.
) si usa la geometria di [tex]\mathbb{R}^2[/tex] per dimostrare che una funzione è subarmonica se e solo se ha la "sub-(MVP)" (si usano le coordinate polari); poi non so, forse vale anche per altre dimensioni.Però l'esempio che hai fornito tu mi convince che questo non possa valere in dimensione 1. Infatti il teorema che ho dimostrato prima, sicuramente dimostra che una funzione subarmonica non costante non ammette punti di massimo assoluto. La funzione f del tuo esempio ha l'asse negativo fatto da punti di massimo assoluto pur essendo subarmonica e non costante.
Ho modificato il post precedente, scusa. No, ma non è questione di dimensione. Questi concetti infatti si generalizzano a spazi $RR^n$, se vuoi un riferimento io in questo momento sto consultando Gilbarg-Trudinger Elliptic Partial Differential Equations. Per un esempio bidimensionale prendi
$f(x, y)={(-x^3, x>0, y\in RR), (0, x<=0, y \in RR):}$.
Secondo me è formulata male la proposizione. Gilbarg e Trudinger, infatti la formulano così:
$f(x, y)={(-x^3, x>0, y\in RR), (0, x<=0, y \in RR):}$.
Secondo me è formulata male la proposizione. Gilbarg e Trudinger, infatti la formulano così:
Theorem 2.2. Let $Delta u ge0$ in $Omega$ and suppose there exists a point $y \in Omega$ for which $u(y)="sup"_{Omega} u$. Then $u$ is constant.
Ah, però:
[tex]u(x,y) := \begin{cases}
-x^3 & \text{ se } x > 0 \\
0 & \text{ se } x \leq 0
\end{cases}[/tex]
lo fa questo dispetto...
Scusa se ti ho copiato la funzione
Edit: Scusa per l'overlap, non avevo aggiornato la pagina.
[tex]u(x,y) := \begin{cases}
-x^3 & \text{ se } x > 0 \\
0 & \text{ se } x \leq 0
\end{cases}[/tex]
lo fa questo dispetto...
Scusa se ti ho copiato la funzione
Edit: Scusa per l'overlap, non avevo aggiornato la pagina.
Comunque la funzione l'abbiamo sbagliata, quella nostra è superarmonica, si deve scambiare [tex]x \leq 0[/tex] con [tex]x >0[/tex]. Ma in questo modo non mi sembra vero nemmeno il Theorem 2.2... La funzione corretta è subarmonica ([tex]\Delta u (x,y)= -6x[/tex] per [tex]x < 0[/tex] e zero altrove) ed esiste un punto (nel semipiano delle ascisse positive) in cui la funzione assume il massimo, eppure non è costante...
Ma infatti qua c'è qualcosa che non quadra proprio, giaorl. Possibile che tutti i libri siano sbagliati? 
No, sicuramente siamo noi che stiamo clamorosamente mancando qualcosa.
Di sicuro, parlando di funzioni armoniche, esempi come questi non si possono fare, perché una funzione armonica è analitica: una funzione analitica costante in tutto un aperto è automaticamente costante in tutta la componente connessa che lo contiene, questo è un teorema sul quale non ci piove.
Perciò per funzioni armoniche il teorema che citi ad inizio post è vero: con quel ragionamento si prova che $u$ è costante sulla sferetta $B_r(p)$ e quindi su tutto $Omega$. Il guaio è il caso sub/super-armonico. Perché il nostro esempio è sbagliato?
No, sicuramente siamo noi che stiamo clamorosamente mancando qualcosa. Di sicuro, parlando di funzioni armoniche, esempi come questi non si possono fare, perché una funzione armonica è analitica: una funzione analitica costante in tutto un aperto è automaticamente costante in tutta la componente connessa che lo contiene, questo è un teorema sul quale non ci piove.
Perciò per funzioni armoniche il teorema che citi ad inizio post è vero: con quel ragionamento si prova che $u$ è costante sulla sferetta $B_r(p)$ e quindi su tutto $Omega$. Il guaio è il caso sub/super-armonico. Perché il nostro esempio è sbagliato?
Mi sono perso con tutti i cambi di segno, comunque:
1) un esempio di funzione subarmonica è $u(x) = 0$ per $x\le 0$, $u(x) = x^3$ per $x>0$. Se consideriamo un qualsiasi intervallo aperto $(a,b)$, la funzione non ha alcun punto di massimo interno, a meno che non sia costante su $(a,b)$.
2) Riguardo la domanda iniziale: si considera l'insieme $A = u^{-1}(M)$, che è chiuso in $\Omega$ (nella topologia relativa) poiché $u$ è continua.
D'altra parte, si è dimostrato che se $p\in A$ allora esiste $r>0$ t.c. $B_r(p) \subset A$; di conseguenza, $A$ è anche aperto.
1) un esempio di funzione subarmonica è $u(x) = 0$ per $x\le 0$, $u(x) = x^3$ per $x>0$. Se consideriamo un qualsiasi intervallo aperto $(a,b)$, la funzione non ha alcun punto di massimo interno, a meno che non sia costante su $(a,b)$.
2) Riguardo la domanda iniziale: si considera l'insieme $A = u^{-1}(M)$, che è chiuso in $\Omega$ (nella topologia relativa) poiché $u$ è continua.
D'altra parte, si è dimostrato che se $p\in A$ allora esiste $r>0$ t.c. $B_r(p) \subset A$; di conseguenza, $A$ è anche aperto.
"Rigel":Ecco qua, appunto. Traduzione: l'esempio da me proposto era errato perché avevo sbagliato il segno.
Mi sono perso con tutti i cambi di segno, comunque:
1) un esempio di funzione subarmonica è $u(x) = 0$ per $x\le 0$, $u(x) = x^3$ per $x>0$. Se consideriamo un qualsiasi intervallo aperto $(a,b)$, la funzione non ha alcun massimo relativo interno, a meno che non sia costante su $(a,b)$.
Scusa giaorl, mi dispiace spero di non averti confuso troppo le idee. Comunque, adesso l'esempio possiamo cassarlo e tornare a bomba, ovvero alla:
2) Riguardo la domanda iniziale: si considera l'insieme $A = u^{-1}(M)$, che è chiuso in $\Omega$ (nella topologia relativa) poiché $u$ è continua.che però continua a presentare un inconveniente: questo ragionamento che fai, Rigel, prevede che $p$ sia un punto "libero", mentre in realtà esso è fissato:
D'altra parte, si è dimostrato che se $p\in A$ allora esiste $r>0$ t.c. $B_r(p) \subset A$; di conseguenza, $A$ è anche aperto.
"giaorl":Quindi il discorso funziona se $M="sup"_Omega u$, ovvero il Theorem 2.2 che citavo prima, ma non se $M$ è solo un massimo relativo che potrebbe essere superato in un'altra regione di $Omega$.
Supponiamo per assurdo che $u$ ammetta un punto di massimo relativo $p \in \Omega, u(p)=M$ ...
D'accordo sulla questione $M="sup" u$; ho eliminato la parola "relativo" dal mio esempio.
Direi che l'enunciato riportato nel primo post (che, come al solito, non avevo letto con attenzione) non è corretto, come del resto si vede dall'esempio fatto nel precedente post.
Ciò che è vero è che, se $p\in\Omega$ è un punto di massimo relativo, allora $u$ è costante in un intorno di $p$.
Per avere $u$ costante in tutto l'insieme (connesso) $\Omega$ serve che il punto sia di massimo assoluto.
Direi che l'enunciato riportato nel primo post (che, come al solito, non avevo letto con attenzione) non è corretto, come del resto si vede dall'esempio fatto nel precedente post.
Ciò che è vero è che, se $p\in\Omega$ è un punto di massimo relativo, allora $u$ è costante in un intorno di $p$.
Per avere $u$ costante in tutto l'insieme (connesso) $\Omega$ serve che il punto sia di massimo assoluto.
Ok, ora mi sento di nuovo in equilibrio, ho avuto un attimo di smarrimento (soprattutto quando ho scritto il mio post precedente 
ero chiaramente in delirio).
Anch'io sono d'accordo sul [tex]M = \sup_{\Omega}{u}[/tex].
Il teorema che ho dimostrato nel primo post in pratica mostra che una funzione subarmonica non ammette punti di massimo relativo proprio. Anzi, che se una funzione subarmonica ammette un punto di massimo relativo, allora è costante in tutto un intorno del punto. Questo mi mette un po' l'anima in pace: l'applicazione principale di questo teorema nell'esame che sto preparando mi pare che sia il principio di massimo modulo per funzioni olomorfe:
Teorema (principio di massimo modulo): Sia [tex]\Omega \subset \mathbb{C}[/tex] aperto connesso, [tex]f \in H(\Omega)[/tex] e [tex]p \in \Omega[/tex] punto di massimo relativo per [tex]|f|[/tex]. Allora [tex]f[/tex] è costante.
Dimostrazione: [tex]p[/tex] è un punto di massimo relativo per [tex]|f|^2[/tex], che è subarmonica. Allora [tex]|f|^2[/tex] è costante in tutto un disco del piano complesso. Ciò garantisce che [tex]f[/tex] è costante in tutto un disco aperto. Ma essendo questa olomorfa, deve essere costante su tutto l'aperto, che per ipotesi è connesso (è, in soldoni, quello che ha citato dissonance). c.v.d.
ero chiaramente in delirio).Anch'io sono d'accordo sul [tex]M = \sup_{\Omega}{u}[/tex].
Il teorema che ho dimostrato nel primo post in pratica mostra che una funzione subarmonica non ammette punti di massimo relativo proprio. Anzi, che se una funzione subarmonica ammette un punto di massimo relativo, allora è costante in tutto un intorno del punto. Questo mi mette un po' l'anima in pace: l'applicazione principale di questo teorema nell'esame che sto preparando mi pare che sia il principio di massimo modulo per funzioni olomorfe:
Teorema (principio di massimo modulo): Sia [tex]\Omega \subset \mathbb{C}[/tex] aperto connesso, [tex]f \in H(\Omega)[/tex] e [tex]p \in \Omega[/tex] punto di massimo relativo per [tex]|f|[/tex]. Allora [tex]f[/tex] è costante.
Dimostrazione: [tex]p[/tex] è un punto di massimo relativo per [tex]|f|^2[/tex], che è subarmonica. Allora [tex]|f|^2[/tex] è costante in tutto un disco del piano complesso. Ciò garantisce che [tex]f[/tex] è costante in tutto un disco aperto. Ma essendo questa olomorfa, deve essere costante su tutto l'aperto, che per ipotesi è connesso (è, in soldoni, quello che ha citato dissonance). c.v.d.
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