Principio di Induzione, non riesco a capirlo
Ciao a tutti,
Sto cercando di capire come fare le dimostrazioni tramite il principio di induzione, solo che non ci riesco proprio.
Mi blocco sempre allo stesso punto, dove non capisco cosa devo fare. Ho provato a cercare su internet e vedere gli esercizi svolti sul libro, ma proprio non capisco cosa bisogna fare.
Ad esempio:
$ sum_(k = 1)^(n) (4k-2k^2)/3^k = (n(n+1))/3^n $
Verifico il caso base per $ k=1 $ e ottengo $2/3 = 2/3 $
Ora arrivo al passo induttivo (Non sono sicuro che debba essere fatto così) :
$ sum_(k = 1)^(n) (4(k+1)-(2(k+1))^2)/3^(k+1) = ((n+1)(n+2))/3^(n+1) $
Ma adesso cosa devo fare? O_o
Sto cercando di capire come fare le dimostrazioni tramite il principio di induzione, solo che non ci riesco proprio.
Mi blocco sempre allo stesso punto, dove non capisco cosa devo fare. Ho provato a cercare su internet e vedere gli esercizi svolti sul libro, ma proprio non capisco cosa bisogna fare.
Ad esempio:
$ sum_(k = 1)^(n) (4k-2k^2)/3^k = (n(n+1))/3^n $
Verifico il caso base per $ k=1 $ e ottengo $2/3 = 2/3 $
Ora arrivo al passo induttivo (Non sono sicuro che debba essere fatto così) :
$ sum_(k = 1)^(n) (4(k+1)-(2(k+1))^2)/3^(k+1) = ((n+1)(n+2))/3^(n+1) $
Ma adesso cosa devo fare? O_o
Risposte
Qui l'ho spiegato abbastanza bene, mi pare: http://www.matematicamente.it/forum/principio-di-induzione-t64858.html#458711
Leggilo. Se poi avrai ancora dubbi, ne riparliamo.
Leggilo. Se poi avrai ancora dubbi, ne riparliamo.
"Seneca":
Qui l'ho spiegato abbastanza bene, mi pare: http://www.matematicamente.it/forum/principio-di-induzione-t64858.html#458711
Leggilo. Se poi avrai ancora dubbi, ne riparliamo.
Non riesco a capire il passo induttivo.
Prendo l'esempio da te fatto:
https://www.matematicamente.it/forum/pri ... tml#458712
Perchè hai moltiplicato per 2 ambo i membri? E da cosa hai capito che dovevi moltiplicare per 2 ?
Perché avevo $2^n$ e dovevo far saltar fuori $2^(n+1)$. L'unica cosa che devi capire è come funziona l'induzione. Per dimostrare il passo induttivo non ci sono regole generali; esperienza, occhio e fortuna aiutano.
Prova a dimostrare la tua uguaglianza.
Prova a dimostrare la tua uguaglianza.
Non ci riesco 
$ sum_(k = 1)^(n) (4(k+1)-(2(k+1)^2))/3^(k+1) = ((n+1)(n+2))/3^(n+1) $
Da qui devo dimostrare P(n), giusto?
$ (4n-2n^2)/3^n = n(n+1)/3^n $
Raccolgo 2n a sinistra e ottengo :
$2n(2-n)/3^n = n(n+1)/3^n $ ma ora non sò più cosa fare .... :-/
$ sum_(k = 1)^(n) (4(k+1)-(2(k+1)^2))/3^(k+1) = ((n+1)(n+2))/3^(n+1) $
Da qui devo dimostrare P(n), giusto?
$ (4n-2n^2)/3^n = n(n+1)/3^n $
Raccolgo 2n a sinistra e ottengo :
$2n(2-n)/3^n = n(n+1)/3^n $ ma ora non sò più cosa fare .... :-/
Non devi aumentare $k$ , ma $n$.
Ipotesi induttiva (quello che assumi vero):$ sum_(k = 1)^(n) (4k-2k^2)/3^k = (n(n+1))/3^n $; Tesi induttiva(quello che devi dimostrare): $ sum_(k = 1)^(n+1) (4k-2k^2)/3^k = ((n+1)(n+2))/3^(n+1) $
Ipotesi induttiva (quello che assumi vero):$ sum_(k = 1)^(n) (4k-2k^2)/3^k = (n(n+1))/3^n $; Tesi induttiva(quello che devi dimostrare): $ sum_(k = 1)^(n+1) (4k-2k^2)/3^k = ((n+1)(n+2))/3^(n+1) $
"Gi8":
Non devi aumentare $k$ , ma $n$.
Ipotesi induttiva (quello che assumi vero):$ sum_(k = 1)^(n) (4k-2k^2)/3^k = (n(n+1))/3^n $; Tesi induttiva(quello che devi dimostrare): $ sum_(k = 1)^(n+1) (4k-2k^2)/3^k = ((n+1)(n+2))/3^(n+1) $
Ah! Ok, ma ora quindi devo ottenere tramite passaggi algebrici la stessa cosa che c'é a sinistra? Ad esempio :
$ (4k-2k^2)/3^k = (4n-2n^2)/3^n $ ?
"misconosciuto":
Ah! Ok, ma ora quindi devo ottenere tramite passaggi algebrici la stessa cosa che c'é a sinistra?
No. Devi ottenere la tesi induttiva, sfruttando l'ipotesi induttiva.
"misconosciuto":Questo non c'entre niente. Perchè vuoi paragonare $k$ con $n$?
Ad esempio :
$ (4k-2k^2)/3^k = (4n-2n^2)/3^n $
$k$ è l'indice di sommatoria, mentre $n$ è un numero naturale fissato.
Devi partire scrivendo $sum_(k=1)^(n+1) (4k-2k^2)/3^k=...$, poi tramite passaggi algebrici ( e, soprattutto, sfruttando l'ipotesi induttiva) devi arrivare ad avere $((n+1)*(n+2))/3^(n+1)
Ti do un suggerimento per iniziare:
$sum_(k=1)^(n+1) (4k-2k^2)/3^k = ...$
Qui l'idea è di tirar fuori l'ultimo termine della sommatoria (il termine (n+1)-esimo):
$sum_(k=1)^(n+1) (4k-2k^2)/3^k = ( sum_(k=1)^(n) (4k-2k^2)/3^k ) + (4(n + 1) - 2(n + 1)^2)/3^(n+1)$
$sum_(k=1)^(n+1) (4k-2k^2)/3^k = ...$
Qui l'idea è di tirar fuori l'ultimo termine della sommatoria (il termine (n+1)-esimo):
$sum_(k=1)^(n+1) (4k-2k^2)/3^k = ( sum_(k=1)^(n) (4k-2k^2)/3^k ) + (4(n + 1) - 2(n + 1)^2)/3^(n+1)$
Quell'esercizio non riesco proprio a capirlo, ho provato a farne un'altro:
Dimostrare che
$ 2^n= 4 $
Caso base :
$ P(4) : 2^4 < 24 $
é vera, quindi procedo con il passo induttivo.
Passo Induttivo:
Ipotesi -> $ 2^n < n! $
Tesi -> $ 2^(n+1) < (n+1)! $
Dimostro la Tesi sfruttando l'ipotesi , quindi da ciò che ho capito fino ad ora devo fare:
$ 2^n +2^(n+1) < n! + (n+1)! $
$ 2^n + 2^n*2 < n! +(n+1)! $
Dimostrare che
$ 2^n
Caso base :
$ P(4) : 2^4 < 24 $
é vera, quindi procedo con il passo induttivo.
Passo Induttivo:
Ipotesi -> $ 2^n < n! $
Tesi -> $ 2^(n+1) < (n+1)! $
Dimostro la Tesi sfruttando l'ipotesi , quindi da ciò che ho capito fino ad ora devo fare:
$ 2^n +2^(n+1) < n! + (n+1)! $
$ 2^n + 2^n*2 < n! +(n+1)! $
"misconosciuto":
Dimostro la Tesi sfruttando l'ipotesi , quindi da ciò che ho capito fino ad ora devo fare:
$ 2^n +2^(n+1) < n! + (n+1)! $
$ 2^n + 2^n*2 < n! +(n+1)! $
Spiega meglio cosa hai fatto...
"Seneca":
Ti do un suggerimento per iniziare:
$sum_(k=1)^(n+1) (4k-2k^2)/3^k = ...$
Qui l'idea è di tirar fuori l'ultimo termine della sommatoria (il termine (n+1)-esimo):
$sum_(k=1)^(n+1) (4k-2k^2)/3^k = ( sum_(k=1)^(n) (4k-2k^2)/3^k ) + (4(n + 1) - 2(n + 1)^2)/3^(n+1)$
Per completezza scrivo la soluzione in spoiler:
"Seneca":
[quote="Seneca"]Ti do un suggerimento per iniziare:
$sum_(k=1)^(n+1) (4k-2k^2)/3^k = ...$
Qui l'idea è di tirar fuori l'ultimo termine della sommatoria (il termine (n+1)-esimo):
$sum_(k=1)^(n+1) (4k-2k^2)/3^k = ( sum_(k=1)^(n) (4k-2k^2)/3^k ) + (4(n + 1) - 2(n + 1)^2)/3^(n+1)$
Per completezza scrivo la soluzione in spoiler:
[/quote]
Ah ok, ora credo di aver capito.
Ma come hai fatto a fare questa uguaglianza?
$= (3 n(n+1) + 4(n + 1) - 2(n + 1)^2)/3^(n+1) = ((n + 1) (n + 2))/3^n$
Nella prima hai fatto il denominatore comune e poi come sei passato all'altra? Facendo i calcoli?
Sì, semplicemente calcoli. 
Perfetto, grazie mille ora ho capito come dimostrare le uguaglianze.
Per le disuguaglianze il procedimento é lo stesso?
Per le disuguaglianze il procedimento é lo stesso?
Il concetto è lo stesso. Devi dimostrare l'implicazione $P(n) Rightarrow P(n+1)$. I modi con cui lo fai, però, possono essere i più disparati.
Prova a dimostrare usando l'induzione, per esercizio, la disuguaglianza nota come disuguaglianza di Bernoulli.
Prova a dimostrare usando l'induzione, per esercizio, la disuguaglianza nota come disuguaglianza di Bernoulli.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo