Principio di induzione

[Fabrufy]

Ciao a tutti. Mentre eseguivo degli esercizi su questo nuovo argomento che ho incontrato oggi per la prima volta, ho riscontrato un piccolo dubbio che spero possiate risolvere:

$\sum_{k=1}^N (2k-1)=n^2$

Io ho provato a risolverlo in questo modo:

1) La proprietà è vera con n=1, quindi provo con (n+1)

2) $\sum_{k=1}^(N+1) (2k-1)=n^2$ ---------> $\sum_{k=1}^N (2k-1) + (n+1)$ --------> $\sum_{k=1}^N (2k-1)=n^2$

-----------> n^2+ (n+1)...... e qui mi perdo... E' molto probabile che sbagli qualcosa dovuta dalla presena di (2k-1), perchè mi sono esercitato con vari esercizi con k, o k^2....k^n, dove elevo (n+1)^n... Spero possiate aiutarmi. Grazie

[theras]

Ciao!
Puoi pure osservare,se ti vuoi risparmiare il procedimento dimostrativo per induzione,
che per le elementari proprietà di somma e prodotto e per la nota uguaglianza di Gauss si ha
$sum_(k=1)^(n)(2k-1)=sum_(k=1)^n2k-sum_(k=1)^(n)1=2sum_(k=1)^nk-n=2(n(n+1))/2-n=cdots=n^2$:
saluti dal web.

[PZf]

Prima di tutto l'uguaglianza giusta è $\sum_{k=1}^n(2k-1)=n^2$

Poi osserva che vale $\sum_{k=1}^{n+1}(2k-1)=\sum_{k=1}^{n}(2k-1)+(2(n+1)-1)$ dunque, per l'ipotesi induttiva...

[Fabrufy]

Ok, ho perfettamente capito. Grazie Mille!!