Principio di induzione
Ciao a tutti ho difficoltà nell'applicare il principio di induzione nella "pratica" degli esercizi proposti.
Per esempio devo provare la seguente disuguaglianza :
A. $ ( n + 3 ) ^ 2 <= 2 ^ (n + 3) $ per ogni n in N
La teoria dice che devo verificare che la $P(0)$ sia vera.
Posta vera per $P(n)$ allora è vera anche per $P(n+1)$.
Ho provato a verificarla per $ P(0) $ ma sostituendo 0 ad n ho verificato che non è vera ( già qui mi sono un po' bloccato ).
Ho visto però che è vera per $ P(1) $ e vorrei provare a dimostrare il passo induttivo ma non sono piutosto insicuro.
Ho scritto :
$ P(n) $ vera ----> $ P(n+1) $
$ ( ( n+ 1) + 3 ) ^ 2 <= 2 ^ (( n + 1 ) + 3) $ e quindi :
$ ( n + 4 ) ^ 2 <= 2 ^ ( n + 4 ) $ da qui però non mi muovo ... e' corretto scrivere in questo modo ?
Vi ringrazio per l'aiuto.
GC
Per esempio devo provare la seguente disuguaglianza :
A. $ ( n + 3 ) ^ 2 <= 2 ^ (n + 3) $ per ogni n in N
La teoria dice che devo verificare che la $P(0)$ sia vera.
Posta vera per $P(n)$ allora è vera anche per $P(n+1)$.
Ho provato a verificarla per $ P(0) $ ma sostituendo 0 ad n ho verificato che non è vera ( già qui mi sono un po' bloccato ).
Ho visto però che è vera per $ P(1) $ e vorrei provare a dimostrare il passo induttivo ma non sono piutosto insicuro.
Ho scritto :
$ P(n) $ vera ----> $ P(n+1) $
$ ( ( n+ 1) + 3 ) ^ 2 <= 2 ^ (( n + 1 ) + 3) $ e quindi :
$ ( n + 4 ) ^ 2 <= 2 ^ ( n + 4 ) $ da qui però non mi muovo ... e' corretto scrivere in questo modo ?
Vi ringrazio per l'aiuto.
GC
Risposte
benvenuto nel forum.
sicuro che $P(1)$ è vera? .... ah, già, $+3$ è all'esponente: correggi il testo.
il passo induttivo deve sfruttare il fatto che $P(n)$ sia vera, allora non lasciare $n+4$ ma trasforma $(n+1)+3$ in $(n+3)+1$ ...
io non ho svolto i calcoli, ma spero che questa "dritta" ti sia sufficiente. prova e facci sapere. ciao.
sicuro che $P(1)$ è vera? .... ah, già, $+3$ è all'esponente: correggi il testo.
il passo induttivo deve sfruttare il fatto che $P(n)$ sia vera, allora non lasciare $n+4$ ma trasforma $(n+1)+3$ in $(n+3)+1$ ...
io non ho svolto i calcoli, ma spero che questa "dritta" ti sia sufficiente. prova e facci sapere. ciao.
E' quindi corretto scrivere $((n+3)+1)^2 <= 2^(n+4)$
Quello che non riesco a vedere è come dimostrarlo.
Quello che non riesco a vedere è come dimostrarlo.
applica la formula del quadrato di un binomio (per questo conviene "inglobare" 3 con n) ed anche $2^(n+4)=2*2^(n+3)$.
Ho bisogno di vedere i passaggi paso a passo dell'esercizio. Potresti indicarmeli ? chiedo troppo ?
Provo a riscrivere tutto per farti capire dove mi blocco.
$(n+3)^2<=2^(n+3)$
1. Verifico per $P(1)$ e ottengo : $(1+3)^2<=2^(1+3)$ ---> $16<=16$
2. Posta vera per $P(n)$ allora la mia tesi sarà che $P(n+1)$ vera.
$(n+3)^2 <= 2^(n+3)$ ------> $( (n+1) + 3 ) ^ 2 <= 2 ^ ( ( n+1) + 3 )$
Da qui mi blocco e non sono certo di come proseguire.
Grazie 1000
GC
Provo a riscrivere tutto per farti capire dove mi blocco.
$(n+3)^2<=2^(n+3)$
1. Verifico per $P(1)$ e ottengo : $(1+3)^2<=2^(1+3)$ ---> $16<=16$
2. Posta vera per $P(n)$ allora la mia tesi sarà che $P(n+1)$ vera.
$(n+3)^2 <= 2^(n+3)$ ------> $( (n+1) + 3 ) ^ 2 <= 2 ^ ( ( n+1) + 3 )$
Da qui mi blocco e non sono certo di come proseguire.
Grazie 1000
GC
"giuliano.ch":
Ho bisogno di vedere i passaggi paso a passo dell'esercizio. Potresti indicarmeli ? chiedo troppo ?
Provo a riscrivere tutto per farti capire dove mi blocco.
$(n+3)^2<=2^(n+3)$
1. Verifico per $P(1)$ e ottengo : $(1+3)^2<=2^(1+3)$ ---> $16<=16$
2. Posta vera per $P(n)$ allora la mia tesi sarà che $P(n+1)$ vera.
$(n+3)^2 <= 2^(n+3)$ ------> $( (n+1) + 3 ) ^ 2 <= 2 ^ ( ( n+1) + 3 )$
GC
Perchè non sfrutti l'ipotesi induttiva? [tex]{(n+3)^{2}} <= 2^{n+3}[/tex] .
[tex][(n+1)+3]^2 \le 2^{(n+1)+3}[/tex] [tex]\rightarrow[/tex] [tex]{[(n+3)+1]^{2}} \le 2^{n+3+1}[/tex] [tex]\rightarrow[/tex][tex](n+3)^{2} + 1 +2n+6 \le {2^{n+3}}+2^{n+3}[/tex]
Rimane da dimostrare che: [tex]2n+7 \le {2^{n+3}}[/tex]
P(1) è vera. [tex]2n+2+7 \le {2^{(n+1)+3}}[/tex] [tex]\rightarrow[/tex][tex](2n+7)+2 \le {2^{n+3}}+{2^{n+3}}[/tex]
[tex]2 \le {2^{n+3}} \rightarrow 1\le {2^{n+2}}[/tex] [tex]\rightarrow[/tex]
Rimane da dimostrare che: [tex]1\le {2^{n+2}}[/tex] P(1) è vera: [tex]1\le {2^{n+1+2}} \rightarrow 1\le {2^{n+2}}*2 \rightarrow 1< 2[/tex].
Ciao, scusami se rispondo solo ora e grazie per l'aiuto.
Non capisco come hai fato ad ottenere da $[(n+3) +1]^2$ questi altri elementi $(n+3)^2 +1 +2n +6 $.
GC
Non capisco come hai fato ad ottenere da $[(n+3) +1]^2$ questi altri elementi $(n+3)^2 +1 +2n +6 $.
GC
"giuliano.ch":
Ciao, scusami se rispondo solo ora e grazie per l'aiuto.
Non capisco come hai fato ad ottenere da $[(n+3) +1]^2$ questi altri elementi $(n+3)^2 +1 +2n +6 $.
GC
$[(n+3) +1]^2$
[tex]a=n+3[/tex]
[tex]b=1[/tex]
[tex][(n+3) +1]^2 = {(a+b)^{2}}= a^{2}+b^{2} + 2ab[/tex]
Continuo a non capire
Scusa, ho visto ora il passaggio
Provo ad andare avanti ...
Provo ad andare avanti ...
E' il vecchio ma sempre attuale quadrato del binomio, niente di che...
Si tratta di applicare iterativamente il principio di induzione.
Si tratta di applicare iterativamente il principio di induzione.
Ti ringrazio per l'aiuto
Ciao
Giuliano
Ciao
Giuliano
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