Principio di induzione (70098)

[Xandraa]

1- Scrivere l'espressione 3+7+11+...+(4n-1) per n=2 e n=3;
2- verificarne l'uguaglianza con n(2n +1) per n=2 e n=3;
3- dimostrare per induzione che
3+7+11+...+ (4n-1)= n(2n+1)

[math]\forall[/math]

n

[math]\ge[/math]

1


grazieeee

[ciampax]

1) Per

[math]n=2[/math]

si ha

[math]4n-1=4\cdot 2-1=7[/math]

per cui

[math]3+7+11+\ldots+(4n-1)=3+7=10[/math]

Per

[math]n=3[/math]

si ha

[math]4n-1=4\cdot 3-1=11[/math]

per cui

[math]3+7+11+\ldots+(4n-1)=3+7+11=21[/math]

2) Per

[math]n=2[/math]

si ha

[math]n(2n+1)=2(2\cdot 2+1)=10[/math]

Per

[math]n=3[/math]

si ha

[math]n(2n+1)=3(2\cdot 3+1)=21[/math]

3) Indichiamo la proprietà da dimostrare al modo seguente:

[math]P(n):\qquad 3+7+11+\ldots+(4n-1)=n(2n+1)[/math]

Base di induzione:

[math]n=1[/math]

. Abbiamo

[math]3+7+11+\ldots+(4n-1)=3[/math]

[math]n(2n+1)=3[/math]

per cui

[math]P(1)[/math]

è vera.

PASSO INDUTTIVO: supponiamo che

[math]P(n)[/math]

sia vera e dimostriamo che

[math]P(n+1)=3+7+11+\ldots+(4n-1)+[4(n+1)-1]=(n+1)[2(n+1)+1]=(n+1)(2n+3)[/math]

Abbiamo

[math]\underbrace{3+7+11+\ldots+(4n-1)}_{P(n)}+[4(n+1)-1]=n(2n+1)+(4n+3)=2n^2+n+4n+3=\\
2n^2+5n+3[/math]

E' facile vedere che l'equazione

[math]2x^2+5x+3=0[/math]

ammette come soluzioni

[math]x=-1,\ x=-\frac{3}{2}[/math]

, per cui

[math]2x^2+5x=2\left(x+1\right)\left(x+\frac{3}{2}\right)=(x+1)(2x+3)[/math]

Pertanto

[math]2n^2+5n+3=(n+1)(2n+3)[/math]

che è quanto si voleva provare.