Principio di induzione

[uriel873]

Salve stavo rispolverando il principio di induzione e non riesco a fare il seguente esercizio.
Qualcuno mi puo aiutare ?

Dimostrare per induzione che
1^3 + 2^3 + · · · + n^3 = (1 + 2 + · · · + n)^2, ∀n ≥ 1 .

[gugo82]

Cosa hai provato?

[pilloeffe]

Ciao uriel873,

Benvenuto sul forum!

Si tratta della famosa somma dei cubi dei primi $n$ numeri naturali che è pari al quadrato della somma dei primi $n$ numeri naturali:

\begin{equation*}
\boxed{
1^3 + 2^3 + \dots + n^3 = \sum_{k=1}^{n} k^3 = \dfrac{n^2 \cdot (n + 1)^2}{4} = \bigg[\dfrac{n \cdot (n + 1)}{2}\bigg]^2 = (1 + 2 + \dots + n)^2}
\end{equation*}

Se ne è già parlato diffusamente, anche su questo stesso forum...
Se non ti è già noto, potresti cominciare col dimostrare, sempre per induzione od anche per altra via, che si ha:

\begin{equation*}
\boxed{1 + 2 + 3 + \dots + n = \sum_{k=1}^{n} k = \dfrac{n \cdot (n + 1)}{2}}
\end{equation*}