Principio di induzione
ciao a tutti! 
non riesco a capire il principio di induzione. vi scrivo qui quello che sta scritto sul libro! io per l'esame di matematica sto utilizzando ELEMENTI DI ANALISI MATEMATICA 1 Paolo Marcellini Carlo Sbordone:
Formuliamo in generale il seguente:
PRINCIPIO DI INDUZIONE: - supponiamo che una proposizione dipendente da un indice n € N sia vera per n=1 e che inoltre, supposta vera per n, sia vera anche per il successivo n+1. Allora la proposizione è vera per ogni n € N.
Esempio: 1+2+3+...+(n+1) + n = [(n(n+1)/2)].
La formula è vera per n=1 ; infatti si ha 1=[((1*2)/2)].
supponiamo vera 1+2+3+...+(n+1) + n = [(n(n+1)/2)] e dimostriamo la formula analoga con n+1 al post di n. Per ottenere ciò , è naturale sommare ad entrambi i membri il numero n+1:
1+2+3+...+n+(n+1) = [(n(n+1))/2)+(n+1)] = ((n(n+1) + 2(n+1))/2 = [(n+1)(n+2))/2]
Abbiamo ottenuto ciò ch volevamo; quindi 1+2+3+...+(n+1) + n = [(n(n+1)/2)] risulta vera per ogni n € N.
non riesco a capire il principio di induzione. vi scrivo qui quello che sta scritto sul libro! io per l'esame di matematica sto utilizzando ELEMENTI DI ANALISI MATEMATICA 1 Paolo Marcellini Carlo Sbordone:
Formuliamo in generale il seguente:
PRINCIPIO DI INDUZIONE: - supponiamo che una proposizione dipendente da un indice n € N sia vera per n=1 e che inoltre, supposta vera per n, sia vera anche per il successivo n+1. Allora la proposizione è vera per ogni n € N.
Esempio: 1+2+3+...+(n+1) + n = [(n(n+1)/2)].
La formula è vera per n=1 ; infatti si ha 1=[((1*2)/2)].
supponiamo vera 1+2+3+...+(n+1) + n = [(n(n+1)/2)] e dimostriamo la formula analoga con n+1 al post di n. Per ottenere ciò , è naturale sommare ad entrambi i membri il numero n+1:
1+2+3+...+n+(n+1) = [(n(n+1))/2)+(n+1)] = ((n(n+1) + 2(n+1))/2 = [(n+1)(n+2))/2]
Abbiamo ottenuto ciò ch volevamo; quindi 1+2+3+...+(n+1) + n = [(n(n+1)/2)] risulta vera per ogni n € N.
Risposte
Non puoi farla con la somma dei primi n termini di una progressione aritmetica?
In questo caso hai
$a_1=1$
$a_n=n$
La ragione è $1$, quindi i termini sono $n$
$S_n=(a_1+a_n)/2 *n=(1+n)/2*n$
Altrimenti anche con i regoli (non i regoli calcolatori, i cubetti bianchi, gialli e rossi intendo) si può dimostrare.
In questo caso hai
$a_1=1$
$a_n=n$
La ragione è $1$, quindi i termini sono $n$
$S_n=(a_1+a_n)/2 *n=(1+n)/2*n$
Altrimenti anche con i regoli (non i regoli calcolatori, i cubetti bianchi, gialli e rossi intendo) si può dimostrare.
Eh ma cosa non ti è chiaro di preciso?
Ciao SilvyF,
Se cerchi "principio di induzione" non su Google, ma direttamente qui sul forum, trovi $465 $ risultati...
In particolare, dai un'occhiata qui.
Se cerchi "principio di induzione" non su Google, ma direttamente qui sul forum, trovi $465 $ risultati...
In particolare, dai un'occhiata qui.
Essenzialmente quello che non ho ben capito è che nella seconda parte devo sostituire ad n, (n+1)? E poi non ho capito un passaggio nell’esempio:
1+2+3+...+n+(n+1) = [(n(n+1))/2] + (n+1) =
= [)(n(n+1) + (2(n+1)))/2] = [(n+1)(n+2)]/2
Qui ha fatto il minimo comune multiplo?
Io l’ho svolto così:
1+2+3+...+n+(n+1) = [(n(n+1))/2] + (n+1) =
= [((n(n+1) + (2(n+1)))/2] = (n^2+n+2n+2)/2
=(n^2+3n+2)/2 = [(n+1)(n+2)]/2
1+2+3+...+n+(n+1) = [(n(n+1))/2] + (n+1) =
= [)(n(n+1) + (2(n+1)))/2] = [(n+1)(n+2)]/2
Qui ha fatto il minimo comune multiplo?
Io l’ho svolto così:
1+2+3+...+n+(n+1) = [(n(n+1))/2] + (n+1) =
= [((n(n+1) + (2(n+1)))/2] = (n^2+n+2n+2)/2
=(n^2+3n+2)/2 = [(n+1)(n+2)]/2
Ha semplicemente riapplicato la formula già trovata, che da la somma dei primi n numeri naturali.
La leggenda narra che Gauss alle elementari avesse fatto arrabbiare il maestro, così venne punito.
Arrivata l'ora di ricreazione il maestro gli disse "Non uscirai dalla classe finchè non avrai sommato i numeri da uno a cento".
Il maestro uscì e pochi istanti dopo si vide sfrecciare accanto il piccolo Gauss giubilante...lo prese per il coppino e disse:
"E tu dove pensi di andare? Non ti avevo detto di sommare i primi 100 numeri naturali?" E Gauss rispose "Ma l'ho fatto!"
Il maestro rientrò in classe e vide scritto sulla lavagna 5050".
Non è difficile capire da dove arriva la formula. Prendiamo 1 2 3 4 5 6 7. Se sommi $1+7=2+6=3+5=2*4=8$.
Ricava una formula generale.
Ora consideriamo un numero pari di numeri 1 2 3 4 5 6 7 8. $1+8=2+7=3+6=4+5=9$
Ricava la formula e scoprirai che è uguale alla prima...
La leggenda narra che Gauss alle elementari avesse fatto arrabbiare il maestro, così venne punito.
Arrivata l'ora di ricreazione il maestro gli disse "Non uscirai dalla classe finchè non avrai sommato i numeri da uno a cento".
Il maestro uscì e pochi istanti dopo si vide sfrecciare accanto il piccolo Gauss giubilante...lo prese per il coppino e disse:
"E tu dove pensi di andare? Non ti avevo detto di sommare i primi 100 numeri naturali?" E Gauss rispose "Ma l'ho fatto!"
Il maestro rientrò in classe e vide scritto sulla lavagna 5050".
Non è difficile capire da dove arriva la formula. Prendiamo 1 2 3 4 5 6 7. Se sommi $1+7=2+6=3+5=2*4=8$.
Ricava una formula generale.
Ora consideriamo un numero pari di numeri 1 2 3 4 5 6 7 8. $1+8=2+7=3+6=4+5=9$
Ricava la formula e scoprirai che è uguale alla prima...
Cerco di aiutarti
La formula da dimostrare è $1+2+3+...+n=(n*(n+1))/2$
Se la forma è vera se sono verificate le due ipotesi induttive
La formula da dimostrare è $1+2+3+...+n=(n*(n+1))/2$
Se la forma è vera se sono verificate le due ipotesi induttive
- validità di $P(1)$
dalla validità di $P(n)$ dimostri la validità di $P(n+1)$[/list:u:2c7namgt]
Hai dimostrato che $P(1)=(1*2)/2=1$ è vera. quindi la prima ipotesi induttiva è verificata.
Come è fatta $P(n+1)$? Devi sostituire al posto di $n$ il valore $n+1$, quindi diventa $1+2+3+...+n+(n+1)=((n+1)*(n+2))/2$
Prendi il primo membro
$1+2+3+...+n+(n+1)=$ dalla seconda ipotesi induttiva sai che $1+2+3+...+n=(n*(n+1))/2$, quindi puoi sostituire i primi n addendi con $(n*(n+1))/2$, ma ti rimane ancora l'ultimo addendo $n+1$
$=(n*(n+1))/2+n+1=$ qui devi fare un po' di conti, comun denominatore e raccoglimento ...
$=(n*(n+1)+2*(n+1))/2= ((n+1)(n+2))/2$ che è proprio la forma che cercavi.
@SilvyF:
In primis, un consiglio: cambia testo. “Elementi” è davvero brutto.
Per quanto concerne il PIM, ne ho scritto diffusamente tempo fa in questo post e seguenti.
Inoltre, potrebbe esserti utile leggere questi fogli.
@SirDaniel:
E come si dimostra?
No, non si può.
Quella non è una dimostrazione. Come non è una dimostrazione produrre un numero elevatissimo di esempi.
"SilvyF":
ciao a tutti!
non riesco a capire il principio di induzione. vi scrivo qui quello che sta scritto sul libro! io per l'esame di matematica sto utilizzando ELEMENTI DI ANALISI MATEMATICA 1 Paolo Marcellini Carlo Sbordone [...]
In primis, un consiglio: cambia testo. “Elementi” è davvero brutto.
Per quanto concerne il PIM, ne ho scritto diffusamente tempo fa in questo post e seguenti.
Inoltre, potrebbe esserti utile leggere questi fogli.
@SirDaniel:
"SirDanielFortesque":
Non puoi farla con la somma dei primi n termini di una progressione aritmetica?
E come si dimostra?
"SirDanielFortesque":
Altrimenti anche con i regoli (non i regoli calcolatori, i cubetti bianchi, gialli e rossi intendo) si può dimostrare.
No, non si può.
Quella non è una dimostrazione. Come non è una dimostrazione produrre un numero elevatissimo di esempi.
Ciao gugo82,
Forse non ci hai fatto caso, ma avevo già consigliato all'OP la lettura del tuo post qualche post fa...
Forse non ci hai fatto caso, ma avevo già consigliato all'OP la lettura del tuo post qualche post fa...
"pilloeffe":
In particolare, dai un'occhiata qui.
@pilloeffe: Hai ragione, scorrendo non avevo visto... Scusa.
"gugo82":
No, non si può.
Allora la maestra Gloria era davvero suonata come un citofono.
Io la sapevo così la dimostrazione:
Prendo i miei regoli. Però li prendo da $2$ a $N-1$.
Immagine per capirci:
[ot]
[/ot]Quindi se ne ho cinque vado da $2$ (mi pare fosse giallo) a $4$ (mi pare fosse rosso).
E per ogni numero ne prendo due.
Mentre con le $N$ unità completo la diagonale del quadrato.
Noto che l'area del quadrato $N^2$ è pari alla somma dei primi $N$ naturali, a cui viene aggiunta la somma dei primi $N-1$, quindi ho:
$S_N+S_(N-1)=N^2$
Allo stesso modo mi accorgo che il doppio della somma dei primi $N-1$ numeri naturali è pari ad $N^2$ (area del quadrato) a cui viene tolta la diagonale $N$.
ovverosia:
$2*S_(N-1)=N^2-N$
Quindi ho il sistema:
$\{(S_N+S_(N-1)=N^2),(2*S_(N-1)=N^2-N):}$
Da cui ottengo:
$S_(N)=(N^2+N)/2$
C'era un modo per ovviare il sistema (non essendo proprio adatto ad un pubblico di quinta elementare) ma adesso non ricordo bene come faceva.
[ot]Scusate la foto. Se avessi avuto i regoli avrei mandato quelli. Ma l'unico regolo che ho appresso è il seguente, ma più che essere di una qualche utilità pratica funge da talismano, se così si può dire.
[/ot]Probabilmente il metodo è simile al solito metodo per dimostrarla che adesso non ricordo sinceramente.
"SirDanielFortesque":
[quote="gugo82"]No, non si può.
[...] Io la sapevo così la dimostrazione:
Prendo i miei regoli. Però li prendo da $2$ a $N-1$.[/quote]
Beh, non esistono regoli da $N-1$...
In effetti no.
[ot]
Io ne ho uno. Era da N ma poi si è rotto.
Ai miei tempi ci misuravamo anche gli insiemi infiniti.
Scusa Sir, ma mi hai fatto sorridere ed ho bevuto
[/ot]
"gugo82":
Beh, non esistono regoli da $N-1$...
Io ne ho uno. Era da N ma poi si è rotto.
Ai miei tempi ci misuravamo anche gli insiemi infiniti.
Scusa Sir, ma mi hai fatto sorridere ed ho bevuto
[/ot]
[ot]Secondo me questo modo di procedere è meno barbogio del solito principio di induzione. Inizio a pensare che tutti i professori siano d'accordo per fare questa dimostrazione il giorno 0-esimo del corso di analisi I sul principio di induzione... che pizza.
Sono contento[/ot]
"Bokonon":
mi hai fatto sorridere
Sono contento
[/ot]
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