Principio di induzione
Ciao! È la prima volta che posto un argomento nel forum, ditemi se sbaglio qualcosa nell'inserimento 
Devo dimostrare per induzione che questa uguaglianza è vera in N (se a>b>0 e per ogni n in N):
[size=150]\( \sum_{k = 0}^{n} a^k b^{n-k}={\frac{a^{n+1}-b^{n+1}}{a-b}} \) [/size]
Ho dimostrato l'uguaglianza P(0) per n=0, ma non riesco a verificare P(n+1): ho separato i termini della sommatoria [size=150]\( \sum_{k = 0}^{n+1} a^k b^{n+1-k}\)[/size] per ricondurmi a P(n) ma poi non mi viene fuori qualcosa di "simile" al 2° membro dell'ipotesi induttiva.
Ho provato a dimostrare che l'uguaglianza è vera, senza usare l'induzione, ma non ho fatto solo uso di numeri naturali, quindi questo è sbagliato:
[size=150]\( \sum_{k = 0}^{n} a^k b^{n-k}=\sum_{k = 0}^{n}a^k{\frac{b^n}{b^k}}=b^n\sum_{k = 0}^{n}({\frac{a}{b}})^k=b^n{\frac{(a/b)^{n+1}-1}{(a/b) -1}}={\frac{a^{n+1}-b^{n+1}}{a-b}} \) [/size]
Sicuramente è un esercizio banale ma mi sono bloccata, qualcuno può aiutarmi?
Grazie mille!
Devo dimostrare per induzione che questa uguaglianza è vera in N (se a>b>0 e per ogni n in N):
[size=150]\( \sum_{k = 0}^{n} a^k b^{n-k}={\frac{a^{n+1}-b^{n+1}}{a-b}} \) [/size]
Ho dimostrato l'uguaglianza P(0) per n=0, ma non riesco a verificare P(n+1): ho separato i termini della sommatoria [size=150]\( \sum_{k = 0}^{n+1} a^k b^{n+1-k}\)[/size] per ricondurmi a P(n) ma poi non mi viene fuori qualcosa di "simile" al 2° membro dell'ipotesi induttiva.
Ho provato a dimostrare che l'uguaglianza è vera, senza usare l'induzione, ma non ho fatto solo uso di numeri naturali, quindi questo è sbagliato:
[size=150]\( \sum_{k = 0}^{n} a^k b^{n-k}=\sum_{k = 0}^{n}a^k{\frac{b^n}{b^k}}=b^n\sum_{k = 0}^{n}({\frac{a}{b}})^k=b^n{\frac{(a/b)^{n+1}-1}{(a/b) -1}}={\frac{a^{n+1}-b^{n+1}}{a-b}} \) [/size]
Sicuramente è un esercizio banale ma mi sono bloccata, qualcuno può aiutarmi?
Grazie mille!
Risposte
In realtà è esattamente così che si fa senza induzione. Per farlo con, nota che
\[
\sum_{k=0}^{n+1} a^k b^{n-k} = b \sum_{k=0}^n a^k b^{n-k}+a^{n+1}
\] e semplifica di conseguenza usando l'ipotesi induttiva.
\[
\sum_{k=0}^{n+1} a^k b^{n-k} = b \sum_{k=0}^n a^k b^{n-k}+a^{n+1}
\] e semplifica di conseguenza usando l'ipotesi induttiva.
Ciao over2,
Benvenuta sul forum!
Per semplificarti la vita puoi osservare che l'uguaglianza che vuoi dimostrare è, in forma esplicita, la ben nota identità seguente:
$(b^n + a b^{n - 1} + a^2 b^{n - 2} + ... + a^{n - 1} b + a^n)(a - b) = a^{n + 1} - b^{n + 1} $
Per $n = 0 $ si trova l'identità $a - b = a - b $
Per $n = 1 $ si trova l'identità della differenza di quadrati $(a + b)(a - b) = a^2 - b^2 $
Per $n = 2 $ si trova l'identità della differenza di cubi $(a^2 + ab + b^2)(a - b) = a^3 - b^3 $
$\vdots $
Benvenuta sul forum!
Per semplificarti la vita puoi osservare che l'uguaglianza che vuoi dimostrare è, in forma esplicita, la ben nota identità seguente:
$(b^n + a b^{n - 1} + a^2 b^{n - 2} + ... + a^{n - 1} b + a^n)(a - b) = a^{n + 1} - b^{n + 1} $
Per $n = 0 $ si trova l'identità $a - b = a - b $
Per $n = 1 $ si trova l'identità della differenza di quadrati $(a + b)(a - b) = a^2 - b^2 $
Per $n = 2 $ si trova l'identità della differenza di cubi $(a^2 + ab + b^2)(a - b) = a^3 - b^3 $
$\vdots $
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