Principio di Induzione

[roberto.biccario]

Salve devo verificare che per ogni $ n in NN $, sia verificata l'uguaglianza:
$4^n >= 1+3n $
So per certo che bisogna applicare il principio di induzione ovvero devo verificare che: dato un sottoinsieme $ S sube NN $
1) $ 0 in S $
2) $AA n in NN $ si abbia che $ n in S: n+1 AA S $

la prima condizione la verifico banalmente sostituendo $0$ nell'equazione e ottenendo $ 4^0 >= 1+3 (0) = 1 >= 1 $ e dunque è verificata.
Non so ora come verificare la seconda condizione..

[ciampax]

Se consideri $n+1$ hai
$$4^{n+1}=4^n\cdot 4\ge 4(1+3n)$$
avendo applicato il passo induttivo. Riesci a far vedere che $4(1+3n)\ge 1+(3n+1)$ ora?

[roberto.biccario]

ora potrei fare che $ 4^n+1>= 1+3(n+1) $ ovvero $4^(n+1) >= 4+3n $

se uguaglio la tua soluzione $ 4(1+3n)$ con la mia $ 4+3n $ dovrei avere che:
$ 4(1+3n) >= 4+3n $ ed è verificata..
ma non so se come procedimento può andare

[ciampax]

Mi sa che non ti è chiaro il metodo di utilizzo del principio di induzione: devi sfruttare la regola valida per $n$ e dimostrare che vale per $n+1$. In questo caso vuoi dimostrare che $4^{n+1}\ge 1+3(n+1)=4+3n$. Partiamo da $4^{n+1}$ e facciamo vedere che
$$4^{n+1}\ge 4(1+3n)$$
avendo sfruttato la condizione per $n$. Ora, possiamo ancora scrivere
$$4^{n+1}\ge 4+12n\ge 4+3n$$
in quanto $12n\ge 3n$ per ogni $n$. Ma allora abbiamo quanto cercato.

[roberto.biccario]

"ciampax":
in quanto $ 12n\ge 3n $ per ogni $ n $. Ma allora abbiamo quanto cercato.

non ho capito la conclusione..

[ciampax]

Sei d'accordo che $12n\ge 3n$ per ogni $n$? Pertanto puoi anche affermare che $4+12nge 4+3n$, giusto? Ma come avevo scritto sopra, $4+3n=1+3(n+1)$ che è proprio il membro destro della disuguaglianza che vogliamo dimostrare

[roberto.biccario]

ok ok penso di aver capito grazie