Principio di induzione
Ciao ragazzi, mi sono incappato in un esercizio che richiede la dimostrazione tramite il principio di induzione. Premetto che prima ho letto per bene la teoria e ho fatto gli esempi che c'erano sul libro ma ho il dubbio di non applicare il principio in modo corretto.
Facendo questo esercizio, l'ho svolto così:
$ \sum_{k=1}^n k^2 = (n(n+1)(2n+1))/6 $
1) Passo base
In mio $ n $ iniziale è uguale a 1 quindi lo vado a sostituire all'espressione. Il risultato è 1=1, quindi è verificato.
2) Passo induttivo
Supposta vera $ 1+4+9+16+...+n^2=(n(n+1)(2n+1))/6 $ , la devo verificare per n+1 $ rArr $ $ 1+4+6+16+...+n^2+(n+1)=(n(n+1)(2n+1))/6 +(n+1) $ . Vado a sostituire un numero a caso e l'uguaglianza non viene. Il mio dubbio: è troppo meccanico il ragionamento? E' corretto?
P.S: gli esercizi li ho presi da qua http://www.mat.unimi.it/users/massa/eserind.pdf e vedendo le soluzioni non ho capito le varie semplificazioni. Magari ne potrei svolgere uno con le sommatorie (anche se non ho capito come fa
) e postare i passaggi qui 
Facendo questo esercizio, l'ho svolto così:
$ \sum_{k=1}^n k^2 = (n(n+1)(2n+1))/6 $
1) Passo base
In mio $ n $ iniziale è uguale a 1 quindi lo vado a sostituire all'espressione. Il risultato è 1=1, quindi è verificato.
2) Passo induttivo
Supposta vera $ 1+4+9+16+...+n^2=(n(n+1)(2n+1))/6 $ , la devo verificare per n+1 $ rArr $ $ 1+4+6+16+...+n^2+(n+1)=(n(n+1)(2n+1))/6 +(n+1) $ . Vado a sostituire un numero a caso e l'uguaglianza non viene. Il mio dubbio: è troppo meccanico il ragionamento? E' corretto?
P.S: gli esercizi li ho presi da qua http://www.mat.unimi.it/users/massa/eserind.pdf e vedendo le soluzioni non ho capito le varie semplificazioni. Magari ne potrei svolgere uno con le sommatorie (anche se non ho capito come fa
) e postare i passaggi qui
Risposte
Dopo aver verificato per $ n=1 $ l'uguaglianza $ sum_(k=1)^nk^2=(n(n+1)(2n+1))/6 $ ho supposto che sia vera per n. Poi la verifico per n+1 cosi [vedi calcolo sotto]: ho scritto il suo membro a destra manipolandolo fino a ottenere la somma di due termini: il primo $ (n(n+1)(2n+1))/6 $ che e' uguale alla somma fino a n (avendo supposto vera l'uguaglianza per n) e il secondo che manipolato risulta essere $ (n+1)^2 $. La loro somma e' quindi il lato sinistra dell'uguaglianza per $(n+1) $ come volevo verificare.
$ ((n+1)(n+2)(2(n+1)+1))/6= (n(n+2)(2(n+1)+1)+(n+2)(2(n+1)+1))/6=(n(n+1)(2(n+1)+1)+n(2(n+1)+1)+(n+2)(2(n+1)+1))/6=(n(n+1)(2n+1))/6+(2n(n+1)+n(2(n+1)+1)+(n+2)(2(n+1)+1))/6=sum_(k=1)^nk^2+(2n(n+1)+(2n+2)(2(n+1)+1))/6=sum_(k=1)^nk^2+(2(n+1)(n+(2(n+1)+1)))/6=sum_(k=1)^nk^2+(2(n+1)3(n+1))/6=sum_(k=1)^nk^2+(n+1)^2=sum_(k=1)^(n+1)k^2 $
Peraltro quando tu scrivi: "la devo verificare per n+1" ci sono un paio di errori perche' per n+1 l'uguaglianza e':
$ 1+4+9+16+...+n^2+(n+1)^2=((n+1)(n+2)(2(n+1)+1))/6 $
e la verifica per $ n+1 $ si svolge come indicato sopra. [nelle soluzioni in pdf si e' partiti dal lato sinistro dell'eguaglianza e si e' "arrivati" a dimostrare che e' uguale al lato destro, nel calcolo sopra ho fatto l'inverso da destra a sinistra, ma e' lo stesso!]
$ ((n+1)(n+2)(2(n+1)+1))/6= (n(n+2)(2(n+1)+1)+(n+2)(2(n+1)+1))/6=(n(n+1)(2(n+1)+1)+n(2(n+1)+1)+(n+2)(2(n+1)+1))/6=(n(n+1)(2n+1))/6+(2n(n+1)+n(2(n+1)+1)+(n+2)(2(n+1)+1))/6=sum_(k=1)^nk^2+(2n(n+1)+(2n+2)(2(n+1)+1))/6=sum_(k=1)^nk^2+(2(n+1)(n+(2(n+1)+1)))/6=sum_(k=1)^nk^2+(2(n+1)3(n+1))/6=sum_(k=1)^nk^2+(n+1)^2=sum_(k=1)^(n+1)k^2 $
Peraltro quando tu scrivi: "la devo verificare per n+1" ci sono un paio di errori perche' per n+1 l'uguaglianza e':
$ 1+4+9+16+...+n^2+(n+1)^2=((n+1)(n+2)(2(n+1)+1))/6 $
e la verifica per $ n+1 $ si svolge come indicato sopra. [nelle soluzioni in pdf si e' partiti dal lato sinistro dell'eguaglianza e si e' "arrivati" a dimostrare che e' uguale al lato destro, nel calcolo sopra ho fatto l'inverso da destra a sinistra, ma e' lo stesso!]
"ostrogoto":
Dopo aver verificato per $ n=1 $ l'uguaglianza $ sum_(k=1)^nk^2=(n(n+1)(2n+1))/6 $ ho supposto che sia vera per n. Poi la verifico per n+1 cosi [vedi calcolo sotto]: ho scritto il suo membro a destra manipolandolo fino a ottenere la somma di due termini: il primo $ (n(n+1)(2n+1))/6 $ che e' uguale alla somma fino a n (avendo supposto vera l'uguaglianza per n) e il secondo che manipolato risulta essere $ (n+1)^2 $. La loro somma e' quindi il lato sinistra dell'uguaglianza per $(n+1) $ come volevo verificare.
$ ((n+1)(n+2)(2(n+1)+1))/6= (n(n+2)(2(n+1)+1)+(n+2)(2(n+1)+1))/6=(n(n+1)(2(n+1)+1)+n(2(n+1)+1)+(n+2)(2(n+1)+1))/6=(n(n+1)(2n+1))/6+(2n(n+1)+n(2(n+1)+1)+(n+2)(2(n+1)+1))/6=sum_(k=1)^nk^2+(2n(n+1)+(2n+2)(2(n+1)+1))/6=sum_(k=1)^nk^2+(2(n+1)(n+(2(n+1)+1)))/6=sum_(k=1)^nk^2+(2(n+1)3(n+1))/6=sum_(k=1)^nk^2+(n+1)^2=sum_(k=1)^(n+1)k^2 $
Peraltro quando tu scrivi: "la devo verificare per n+1" ci sono un paio di errori perche' per n+1 l'uguaglianza e':
$ 1+4+9+16+...+n^2+(n+1)^2=((n+1)(n+2)(2(n+1)+1))/6 $
e la verifica per $ n+1 $ si svolge come indicato sopra. [nelle soluzioni in pdf si e' partiti dal lato sinistro dell'eguaglianza e si e' "arrivati" a dimostrare che e' uguale al lato destro, nel calcolo sopra ho fatto l'inverso da destra a sinistra, ma e' lo stesso!]
Perdonami, il ragionamento mi pare limpido ma quando vai a fare i conti non ti seguo:
$ ((n+1)(n+2)(2(n+1)+1))/6 $ , questo passaggio mi è chiaro perché ad $ n $ hai sostituito $ n+1 $ . Il secondo passaggio proprio non lo capisco, sarò tonto io
: $ (n(n+2)(2(n+1)+1)+(n+2)(2(n+1)+1))/6 $ . Che passaggi hai fatto per ottenere ciò?
Bono che ho capito, ora posto il procedimento.
L'espressione di partenza è $ \sum_{k=1}^n k^2 = (n(n+1)(2n+1))/6 $
1) Base induzione
E' verificata $ 1=1 $
2) Passo induttivo
Suppongo vera $ \sum_{k=1}^n k^2 = (n(n+1)(2n+1))/6 $ e dimostro che vale la tesi per $ n+1 $ , dunque considero
$ \sum_{k=1}^(n+1) k^2 = \sum_{k=1}^n k^2 + (n+1)^2 $ $ = $
$ = $ $ (n(n+1)(2n+1))/6+(n+1)^2 $ .
Facendo i vari passaggi, arrivo a scrivere
$ ((n+1)(n+2)(2n+3))/6 $ $ = $ $ (n(n+1)(2n+1))/6 $
Verificato!
E' tutto giusto? Dimmi di sì ti prego ahah.
Se vuoi più tardi ti posto qualche altro esercizio svolto così mi dici (se vuoi) se i procedimenti che faccio sono chiari e leciti
L'espressione di partenza è $ \sum_{k=1}^n k^2 = (n(n+1)(2n+1))/6 $
1) Base induzione
E' verificata $ 1=1 $
2) Passo induttivo
Suppongo vera $ \sum_{k=1}^n k^2 = (n(n+1)(2n+1))/6 $ e dimostro che vale la tesi per $ n+1 $ , dunque considero
$ \sum_{k=1}^(n+1) k^2 = \sum_{k=1}^n k^2 + (n+1)^2 $ $ = $
$ = $ $ (n(n+1)(2n+1))/6+(n+1)^2 $ .
Facendo i vari passaggi, arrivo a scrivere
$ ((n+1)(n+2)(2n+3))/6 $ $ = $ $ (n(n+1)(2n+1))/6 $
Verificato!
E' tutto giusto? Dimmi di sì ti prego ahah.
Se vuoi più tardi ti posto qualche altro esercizio svolto così mi dici (se vuoi) se i procedimenti che faccio sono chiari e leciti
Quando devi provare la formula per $ (n+1) $ devi scrivere il membro a destra dell'espressione di partenza per $ (n+1) $ quindi sostituendo appunto $ (n+1) $ ad $ n $:
$ sum_(k+1)^(n+1)k^2=((n+1)(n+2)(2(n+1)+1))/6 $ (1)
questa e' cio' che devi dimostrare!
Dopodiche' se vuoi partire da sinistra come hai fatto piuttosto che da destra va bene pero' l'espressione dopo "facendo i vari passaggi" non va bene!
Per provare la (1) riesumando la parte di calcolo precedente corretta e svolgendo i calcoli al posto dei puntini devi ottenere:
$ sum_(k=1)^(n+1)k^2=sum_(k+1)^nk^2+(n+1)^2=(n(n+1)(2n+1))/6+(n+1)^2=...=((n+1)(n+2)(2(n+1)+1))/6 $
naturalmente $ ((n+1)(n+2)(2(n+1)+1))/6=((n+1)(n+2)(2n+3))/6 $..
$ sum_(k+1)^(n+1)k^2=((n+1)(n+2)(2(n+1)+1))/6 $ (1)
questa e' cio' che devi dimostrare!
Dopodiche' se vuoi partire da sinistra come hai fatto piuttosto che da destra va bene pero' l'espressione dopo "facendo i vari passaggi" non va bene!
Per provare la (1) riesumando la parte di calcolo precedente corretta e svolgendo i calcoli al posto dei puntini devi ottenere:
$ sum_(k=1)^(n+1)k^2=sum_(k+1)^nk^2+(n+1)^2=(n(n+1)(2n+1))/6+(n+1)^2=...=((n+1)(n+2)(2(n+1)+1))/6 $
naturalmente $ ((n+1)(n+2)(2(n+1)+1))/6=((n+1)(n+2)(2n+3))/6 $..
"ostrogoto":
Quando devi provare la formula per $ (n+1) $ devi scrivere il membro a destra dell'espressione di partenza per $ (n+1) $ quindi sostituendo appunto $ (n+1) $ ad $ n $:
$ sum_(k+1)^(n+1)k^2=((n+1)(n+2)(2(n+1)+1))/6 $ (1)
questa e' cio' che devi dimostrare!
Dopodiche' se vuoi partire da sinistra come hai fatto piuttosto che da destra va bene pero' l'espressione dopo "facendo i vari passaggi" non va bene!
Per provare la (1) riesumando la parte di calcolo precedente corretta e svolgendo i calcoli al posto dei puntini devi ottenere:
$ sum_(k=1)^(n+1)k^2=sum_(k+1)^nk^2+(n+1)^2=(n(n+1)(2n+1))/6+(n+1)^2=...=((n+1)(n+2)(2(n+1)+1))/6 $
naturalmente $ ((n+1)(n+2)(2(n+1)+1))/6=((n+1)(n+2)(2n+3))/6 $..
Perfetto, domani ne faccio un paio e ne posto qualcuno giusto per vedere il procedimento.
Grazie mille per la pazienza!
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