Principio di induzione

[ana871]

Salve,
non riesco a concludere la seguente dimostrazione
\(\displaystyle
\sum\limits_{k=1}^n \frac{k}{2^k}=2-\frac{n + 2}{2^n}
\)
imposto cosi'
\(\displaystyle
\frac{1}{2^1}+\frac{2}{2^2}+\frac{n + 1}{2^{n+1}}=2-\frac{n + 2}{2^n}+\frac{n + 1}{2^{n+1}}
\)
per tanto se' l'impostazione e' corretta dovrei poi riuscire a dimostrare che
\(\displaystyle
2-\frac{n + 2}{2^n}+\frac{n + 1}{2^{n+1}}=2-\frac{n + 3}{2^{n+1}}
\)
pero' o sbaglio l'impostazione oppure mi perdo nei calcoli ,vari raccoglimenti o altro.

a questo punto come dovrei procedere e' giusto cosi' ?

\(\displaystyle
2-\frac{ 2^{n+1}(n + 2) +{2^n(n + 1)}} {2^n(2^{n+1})} =\frac{ 2^{n+1}(n + 2) +{2^n(n + 1)}} {2^n(2^{n+1})}
\)

poi cosa faccio per il denominatore potrei dire che

\(\displaystyle
{2^n(2^{n+1})}={2^n(2 (2^n))}={2^n((1)(2) (1))}={2^{n+1}}
\)

poi per il numeratore come potrei fare oppure sbaglio completamente?

help help help help

[PZf]

"ana87":Salve,
non riesco a concludere la seguente dimostrazione
\(\displaystyle
\sum\limits_{k=1}^n \frac{k}{2^k}=2-\frac{n + 2}{2^n}
\)
imposto cosi'
\(\displaystyle
\frac{1}{2^1}+\frac{2}{2^2}+\frac{n + 1}{2^{n+1}}=2-\frac{n + 2}{2^n}+\frac{n + 1}{2^{n+1}}
\)
per tanto se' l'impostazione e' corretta dovrei poi riuscire a dimostrare che
\(\displaystyle
2-\frac{n + 2}{2^n}+\frac{n + 1}{2^{n+1}}=2-\frac{n + 3}{2^{n+1}}
\)
pero' o sbaglio l'impostazione oppure mi perdo nei calcoli ,vari raccoglimenti o altro.

Ciò che hai detto fino a qui è corretto.
Dunque devi solo dimostrare che $2-(n+2)/(2^n)+(n+1)/(2^{n+1})=2-(n+3)/(2^{n+1})$ cioè, con un banale passaggio, ti interessa dimostrare che $(n+2)/(2^n)-(n+1)/(2^{n+1})=(n+3)/(2^{n+1})$.
Per dimostrarla moltiplica entrambi i membri per $2^{n+1}$ (non dimenticare che $2^{n+1}/2^n=2$) e poi sviluppa tutti i prodotti fino a ottenere un'identità.

[ana871]

"ana87":Per dimostrarla moltiplica entrambi i membri per\(\displaystyle 2^{n+1} \)

non riesco nemmeno cosi

[PZf]

Cosa ti esce dopo che moltiplichi per $2^{n+1}$ ?

[ana871]

\(\displaystyle
\frac{2(n+2)+(n+1)-{n-3}}{2^{n+2}}
\)
dove sbaglio??

[PZf]

Non è esattamente quello che intendevo ma, a parte una svista su un segno, va bene.

Devi dunque dimostrare che $(2(n+2)-(n+1)-n-3)/2^{n+2}=0$, cioè, ti basta dimostrare che $2(n+2)-(n+1)-n-3=0$. Non credo tu abbia problemi a concludere ora.

[ana871]

bo e' proprio arrivato in queste situazioni che sbaglio tutto secondo me