Principio di equivalenza

[Reborn1]

Salve, vorrei chiedere se qualcuno sa come si dimostra quello che alle superiori ho sentito chiamare "principio di equivalenza" (nell'ambito di risoluzione di equazioni), ovvero $ x=y rArr x+c=y+c $ , partendo dagli assiomi di campo ordinato totalmente.

[dissonance]

Non credo ti serva nessuna struttura di ordine. È un fatto puramente algebrico.

[Reborn1]

Si però mi chiedevo se devo considerarlo un assioma o se discende da qualcos'altro.

[dissonance]

È più una domanda per la sezione di Algebra. Discende dagli assiomi di gruppo. Se $(R, +)$ è un gruppo abeliano allora
\[
a=b\quad \Leftrightarrow\quad a+c=b+c. \]
Ancora più in generale, se $(G, \cdot)$ è un gruppo (anche non abeliano), allora
\[
g_1=g_2 \quad \Leftrightarrow \quad g_1h=g_2h.\]
Questo perché in un gruppo ogni elemento è invertibile.

[Fioravante Patrone1]

Io aggiungerei l'osservazione che l'operazione in un gruppo è una funzione che va da GxG in G
Quindi se g=h allora (g,k)=(h,k) e quindi il valore assunto in (g,k) o in (h,k) è lo stesso.

Ovviamente questo serve per una implicazione. Che non richiede le proprietà di gruppo. Basta avere una operazione in G, definita in modo standard (ovvero come detto sopra).

Per l'implicazione inversa serve quello detto da dissonance, ovvero che ogni elemento è invertibile.