Principio di continuazione analitica

[asabasa]

Poichè ho trovato un po' sintetica la dimostrazione proposta nei miei appunti del corso, ho cercato di "arricchirla" un pochino, che dite ha senso? xD

Principio di continuazione analitica
Sia $Omega sub CC$ un aperto connesso.
Se una funzione olomorfa $f: Omega sub CC -> CC$ si annulla in un aperto $W sub Omega$ non vuoto, allora $f$ è identicamente nulla.

Dimostrazione:

Definiamo l'insieme
$V:={z in Omega : f^{(n)} = 0, AAn=0,1,2,...} = nn_{n>=0} { z in Omega : f^{(n)}(z)=0}$

Basta dimostrare che $V$ è contemporaneamente chiuso e aperto per concludere che $V=Omega$

$V$ è chiuso:

1) $V$ è un chiuso essendo intersezione numerabile di chiusi.
Poiche ${0]$ è un chiuso, la controimmagine di un chiuso è un chiuso per la continuità di ogni funzione derivata $f^{(n)}(z), $)

o

2) presa una successione di punti $(z_j) in V$ convergenti ad un punto $z$

ho che $f^{(n)}(z)= lim_{j->infty} f^{(n)}(z_j)=0$ per la continuità di $f^{(n)}$ allora $z in A$ $Rightarrow barAsubA$ $Rightarrow$ $A$ è un chiuso

$V$ è aperto:

Se $z_0 in V$ , poichè $z_0 in Omega$ e $Omega$ è aperto $EE r>0 : B_r(z_0)sub Omega$
Allora $f(w)= sum_{n>=0} {f^{(n)} (z_0)}/{n!}(w-z_0)^n = 0$ $AAz in B_r(z_0)$
Derivando più volte questa serie abbiamo che $f^{(n)}(w)=0$ $AAn>=0$ cioè $w inV$
Allora $B_r(z_0) sub V$ e quindi $A$ è aperto.

Essendo $V$ un sottoinsieme aperto, chiuso e non vuoto di un insieme connesso deduciamo che $V-=Omega$
ossia che $f-=0$ in $Omega$

PS: immagino che la funzione debba essere analitica e non olomorfa come sta scritto sul testo, giusto?
altrimenti il titolo non avrebbe senso e non potremmo usare l'ipotesi che $f$ è analitica nella dimostrazione. [edit: risolto, sono sinonimi]

[gabriella127]

Ma 'funzione analitica' e' funzione olomorfa' sono in genere sinonimi, no?

[Zero87]

@gabriella127
Credo che il titolo non renda l'idea - anche perché con "continuazione analitica" mi fa venire in mente il principio del prolungamento analitico. "A naso" credo che si tratti di quel teorema che dice che se una funzione olomorfa ha l'insieme degli zeri con punti di accumulazione allora è identicamente nulla.
Non ho risposto perché a distanza di un anno e mezzo dalla laurea e di 2-3 anni dal corso di analisi complessa devo metabolizzare e non è detto nemmeno che ci prendo!

[asabasa]

"gabriella127":Ma 'funzione analitica' e' funzione olomorfa' sono in genere sinonimi, no?

Si, me ne sono resa conto dopo, ora edito.

"Zero87":@gabriella127
Credo che il titolo non renda l'idea - anche perché con "continuazione analitica" mi fa venire in mente il principio del prolungamento analitico. "A naso" credo che si tratti di quel teorema che dice che se una funzione olomorfa ha l'insieme degli zeri con punti di accumulazione allora è identicamente nulla.
Non ho risposto perché a distanza di un anno e mezzo dalla laurea e di 2-3 anni dal corso di analisi complessa devo metabolizzare e non è detto nemmeno che ci prendo!

Si credo sia questo.

Anche io ho pensato che il titolo fosse poco azzeccato... mah