Principio della media integrale
Dico che per una funzione [tex]f:A\to\mathbb C[/tex] (*) vale il principio della media integrale se [tex]\forall z_0\in A, \forall r>0[/tex] tali che [tex]\bar{B}(z_0,r)[/tex] sia in [tex]A[/tex] si ha che [tex]f(z_0)=\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}f(z_0 + re^{i\theta}) d\theta[/tex].
Ho un dubbio su (*) in quanto ho trovato due formulazioni differenti del medesimo principio; una richiede che la funzione sia olomorfa su [tex]A[/tex], l'altra richiede semplicemente la continuità.
Quale delle due formulazioni è corretta o, eventualmente, perchè le due sono equivalenti?
Risposte
Ho visto il tuo post questa mattina, ma non avevo con me i miei appunti per aiutarti. Ora eccomi qua. 
Secondo me, le due definizioni non sono affatto equivalenti.
Premetto alcune considerazioni. Innanzitutto la definizione analoga alla tua per funzioni a valori reali:
Sia [tex]u:\Omega\to\mathbb{R}[/tex] continua con [tex]\Omega[/tex] aperto di [tex]\mathbb{R}^2[/tex]. Si dice che [tex]u[/tex] verifica la proprietà del valor medio (M.V.P) se [tex]\forall (x_0,y_0)\in\Omega, \forall r>0[/tex] tali che [tex]\bar{B}_r(x_0,y_0)[/tex] sia in [tex]\Omega[/tex] si ha che [tex]\displaystyle u(x_0,y_0)=\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}u(x_0+r\cos\theta,y_0 + r\sin\theta) d\theta[/tex].
Conosci il seguente risultato?
Noi a lezione l'abbiamo provato per [tex]u[/tex] di classe [tex]C^2[/tex], ma il prof ci ha detto che vale anche senza questa ulteriore ipotesi.
Ora dimostrare che le due definizioni non sono equivalenti è facile. Per esempio basta porre:
[tex]f:\mathbb{C}\setminus\{0\}\to\mathbb{C}[/tex],
definita ponendo
[tex]\displaystyle f(x,y)=\frac{1}{2}\log(x^2+y^2),\ \ \ z=x+iy\in\mathbb{C},\,z\neq 0[/tex].
Si ha che [tex]f[/tex] non è olomorfa, perchè è a valori in [tex]\mathbb{R}[/tex]. Se lo fosse, dal teorema di Liouville, sarebbe costante.
Inoltre, sia la sua parte reale, sia la parte immaginaria di [tex]f[/tex], sono armoniche (controlla!) e quindi verificano la M.V.P..
Pertanto anche per [tex]f[/tex] vale il principio della media integrale.
Secondo me, alcuni testi aggiungono l'ulteriore ipotesi dell'olomorfia di [tex]f[/tex], solo per semplificarsi un po' la vita e avere ulteriori proprietà.
Poi sinceramente non so, non ho mai consultato testi sull'argomento...
Spero di averti aiutato, ciao!
Secondo me, le due definizioni non sono affatto equivalenti.
Premetto alcune considerazioni. Innanzitutto la definizione analoga alla tua per funzioni a valori reali:
Sia [tex]u:\Omega\to\mathbb{R}[/tex] continua con [tex]\Omega[/tex] aperto di [tex]\mathbb{R}^2[/tex]. Si dice che [tex]u[/tex] verifica la proprietà del valor medio (M.V.P) se [tex]\forall (x_0,y_0)\in\Omega, \forall r>0[/tex] tali che [tex]\bar{B}_r(x_0,y_0)[/tex] sia in [tex]\Omega[/tex] si ha che [tex]\displaystyle u(x_0,y_0)=\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}u(x_0+r\cos\theta,y_0 + r\sin\theta) d\theta[/tex].
Conosci il seguente risultato?
Sia [tex]u:\Omega\to\mathbb{R}[/tex] continua. Sono equivalenti:
a) [tex]u[/tex] verifica la M.V.P.;
b) [tex]u[/tex] è armonica (cioè [tex]u_{xx}+u_{yy}=0[/tex]).
Noi a lezione l'abbiamo provato per [tex]u[/tex] di classe [tex]C^2[/tex], ma il prof ci ha detto che vale anche senza questa ulteriore ipotesi.
Ora dimostrare che le due definizioni non sono equivalenti è facile. Per esempio basta porre:
[tex]f:\mathbb{C}\setminus\{0\}\to\mathbb{C}[/tex],
definita ponendo
[tex]\displaystyle f(x,y)=\frac{1}{2}\log(x^2+y^2),\ \ \ z=x+iy\in\mathbb{C},\,z\neq 0[/tex].
Si ha che [tex]f[/tex] non è olomorfa, perchè è a valori in [tex]\mathbb{R}[/tex]. Se lo fosse, dal teorema di Liouville, sarebbe costante.
Inoltre, sia la sua parte reale, sia la parte immaginaria di [tex]f[/tex], sono armoniche (controlla!) e quindi verificano la M.V.P..
Pertanto anche per [tex]f[/tex] vale il principio della media integrale.
Secondo me, alcuni testi aggiungono l'ulteriore ipotesi dell'olomorfia di [tex]f[/tex], solo per semplificarsi un po' la vita e avere ulteriori proprietà.
Poi sinceramente non so, non ho mai consultato testi sull'argomento...
Spero di averti aiutato, ciao!
Sì, è corretto, la definizione si da per funzioni continue.
Sospettavo in effetti che l'ipotesi di olomorfia venisse inserita solo per risparmiarsi la fatica di ripetere nelle ipotesi dei teoremi seguenti "f olomorfa" ma non ne ero sicuro 
Grazie delle risposte.
Grazie delle risposte.
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