Principio del massimo per le funzioni armoniche

[Iris941]

Salve a tutti ho un dubbio riguardo quesrt'argomento,

Sia $f:A->R$
con $A sub R^n \qquad $ aperto,chiuso e limitato

con $f in C(bar(A)) nn C^2 (A)$

Allora posto $m= min f(x) \qquad $ con $ x in partial A $

e $M=max f(x) \qquad $ con $ x in partial A $

$m <= f(x) <= M \qquad AA x in A$


Il mio dubbio riguarda l'insieme A in quanto il mio prof ha detto che l'insieme è aperto chiuso e limitato ma ciò non è possibile, quindi qual è la definizione giusta?

[Iris941]

up

[Rigel1]

\(A\) aperto, non vuoto, limitato.

[Iris941]

Grazie per l'aiuto Regel,

ma ho ancora un dubbio come fa a dire che massimo e minimo sono sul bordo se l'insieme è aperto ?

[vincenzo962]

Nella dimostrazione non vi è la condizione che f(x) sia monotona crescente o descrescente, perchè effettivamente se fosse così in un intervallo il massimo e il minimo risiederebbero agli estremi dell'invervallo. Prendi ad esempio la funzione sen(x) nell'intervallo (O;3/4\π) scelti il massimo e il minimo che in questo caso saranno π/2 e 3/4\π preso un qualsiasi punto (c)
m

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[Iris941]

Non ho capito perché la tua dimostrazione riguarda le funzioni armoniche