Principio del massimo (dimostrazione)
Voglio dimostrare il principio del massimo partendo dal fatto che le funzioni olomorfe sono aperte.
Credo che la dimostrazione sia corretta, ma dato che possono chiederla all'orale ne voglio esser sicuro
Sia $f: D -> CC$ olomorfa ($D$ è un disco o comunque un compatto con un'unica componente connessa) allora se $f$ non è costante assume massimo sul bordo
Il massimo lo assume dato che la funzione va da un compatto in $RR$.
Supponiamo per assurdo che $f$ assuma massimo in $z_0$ nella parte interna di $D$, allora ci sarà una palla $B(z_0, r) sub D$ tale che $|f(z)|<=|f(z_0)|$.
Daltronde $f$ è aperta, quindi $|f(B(z_0,r))| sub RR $ è un insieme aperto, (sto usando che anche la norma è una funzione aperta) ma i sottoinsiemi aperti di $RR$ non ammettono massimo, quindi la tesi.
Credo che la dimostrazione sia corretta, ma dato che possono chiederla all'orale ne voglio esser sicuro
Sia $f: D -> CC$ olomorfa ($D$ è un disco o comunque un compatto con un'unica componente connessa) allora se $f$ non è costante assume massimo sul bordo
Il massimo lo assume dato che la funzione va da un compatto in $RR$.
Supponiamo per assurdo che $f$ assuma massimo in $z_0$ nella parte interna di $D$, allora ci sarà una palla $B(z_0, r) sub D$ tale che $|f(z)|<=|f(z_0)|$.
Daltronde $f$ è aperta, quindi $|f(B(z_0,r))| sub RR $ è un insieme aperto, (sto usando che anche la norma è una funzione aperta) ma i sottoinsiemi aperti di $RR$ non ammettono massimo, quindi la tesi.
Risposte
Ma... come dimostri poi che le funzioni olomorfe sono aperte?? La dimostrazione che conosco io di questo fatto (quella del Rudin) passa attraverso il principio del massimo!
E poi ritengo che la sezione più corretta sia quella di analisi...
E poi ritengo che la sezione più corretta sia quella di analisi...
Il fatto che le funzioni olomorfe (non costanti) sono aperte si può dimostrare in svariati modi, eh. Ci sono anche delle tecniche puramente algebriche atte allo scopo (cfr. Lang Complex analysis, cap.2), oppure si può adoperare il teorema di Rouché (cfr. Lang, non-mi-ricordo-che-capitolo - cercare "Rouché") o ancora si può usare il teorema della funzione inversa per applicazioni $Omega subset RR^2 \to RR^2$ differenziabili. Su Visual complex analysis poi l'argomento è spiegato in modo particolarmente suggestivo dal punto di vista geometrico.
Allora...ho detto diamo per buono che le funzioni olomorfe non costanti siano aperte e da questo dimostriamo il principio del massimo. Mi chiedo se non ci sono problemi sulla dimostrazione.
Per rispondere alla domanda, la dimostrazione che le funzioni olomorfe non costanti sono aperte la si fa utilizzando il teorema del rango ed è indipendente dal principio del massimo (altrimenti mi sarei morso la coda),
le volete posto almeni l'idea della dimostrazione.
Per rispondere alla domanda, la dimostrazione che le funzioni olomorfe non costanti sono aperte la si fa utilizzando il teorema del rango ed è indipendente dal principio del massimo (altrimenti mi sarei morso la coda),
le volete posto almeni l'idea della dimostrazione.
"angus89":Io lascerei stare, si andrebbe OT e non si capirebbe più nulla. No, invece c'è un problema nella tua dimostrazione: non è vero che $z \mapsto |z|$ è una funzione aperta. Per esempio, l'immagine mediante questa applicazione del disco unitario aperto è $[0, 1)$, che non è aperto in $RR$.
Per rispondere alla domanda, la dimostrazione che le funzioni olomorfe non costanti sono aperte la si fa utilizzando il teorema del rango ed è indipendente dal principio del massimo (altrimenti mi sarei morso la coda),
le volete posto almeni l'idea della dimostrazione.
"angus89":
Sia $f: D -> CC$ olomorfa ($D$ è un disco o comunque un compatto con un'unica componente connessa) allora se $f$ non è costante assume massimo sul bordo
.
Cos'è il massimo di una funzione a valori complessi ?? (credo sia collegato con l'ultima osservazione di dissonance).
@ViciousGoblin Il massimo di una funzione a valori complessi lo si intende in modulo, ovvero $M$ è un massimo se $|f(z)|<=M$ ed esiste $z_0$ con $|f(z_0)|=M$
@dissonance: hai ragione, ho fatto un po di confusione, il valore assoluto non è una funzione aperta ma mi pare che la dimostrazione si possa sistemare con una piccola correzione.
La norma non è una funzione aperta considerandola $| *|: CC -> RR$, daltronde lo è considerandola $| *|:CC\\{0}->RR$ e questo ci basta.
@tutti: Ad ogni modo sono sicuro che esista una dimostrazione fatta così, cioè è possibile dimostrare il principio del massimo partendo dal fatto che le funzioni olomorfe non costanti sono aperte, questo è un mio goffo tentativo, quindi se qualcuno ne conosce qualcuna ho sa indicarmi qualche testo posti pure.
@dissonance: hai ragione, ho fatto un po di confusione, il valore assoluto non è una funzione aperta ma mi pare che la dimostrazione si possa sistemare con una piccola correzione.
La norma non è una funzione aperta considerandola $| *|: CC -> RR$, daltronde lo è considerandola $| *|:CC\\{0}->RR$ e questo ci basta.
@tutti: Ad ogni modo sono sicuro che esista una dimostrazione fatta così, cioè è possibile dimostrare il principio del massimo partendo dal fatto che le funzioni olomorfe non costanti sono aperte, questo è un mio goffo tentativo, quindi se qualcuno ne conosce qualcuna ho sa indicarmi qualche testo posti pure.
[mod="Martino"]Sposto in analisi.[/mod]
Supponiamo per assurdo che [tex]z_0[/tex] sia un punto interno a [tex]\Omega[/tex] che sia un massimo relativo per il modulo di [tex]f[/tex]. Allora esiste [tex]\delta > 0[/tex] tale che se [tex]z \in B(z_0,\delta)\subset \Omega[/tex] allora [tex]|f(z)| \le |f(z_0)|[/tex]. Ma allora [tex]f(B(z_0,\delta))[/tex] è un aperto di [tex]\mathbb C[/tex] e, ciò nonostante, [tex]f(z_0)\in f(B(z_0,\delta))[/tex] è necessariamente un punto di frontiera. Infatti ogni intorno di [tex]f(z_0)[/tex] necessariamente contiene punti della forma [tex](1+ \lambda) f(z_0)[/tex] per [tex]\lambda > 0[/tex] reale, ma [tex](1+\lambda)f(z_0) \not \in f(B(0,\delta)[/tex] perché [tex]|(1+\lambda)f(z_0)| > |f(z_0)|[/tex].
"angus89":Sono d'accordo e l'idea mi piace pure. Aggiusta un po' quella questione del modulo e la tua dimostrazione funzionerà.
@tutti: Ad ogni modo sono sicuro che esista una dimostrazione fatta così, cioè è possibile dimostrare il principio del massimo partendo dal fatto che le funzioni olomorfe non costanti sono aperte,
Ehm... non sono permaloso, ma che cosa c'è nella dimostrazione che ho proposto che non funziona?
Niente. 
O meglio, non lo so perché non l'ho ancora letta. Sai, prima abbiamo postato contemporaneamente e io manco mi sono accorto del tuo post.
O meglio, non lo so perché non l'ho ancora letta. Sai, prima abbiamo postato contemporaneamente e io manco mi sono accorto del tuo post.
Figurati... lo immaginavo... Ho solo voluto richiamare l'attenzione...
Ok, controllata la tua dimostrazione e va bene. In effetti quello è un modo per aggirare la piccola difficoltà incontrata prima ($|*|$ non è una mappa aperta). Questo approccio mi piace perché fornisce una motivazione del teorema "a bassa entropia" (cfr. Street fighting mathematics, §5.2).
Infatti potremmo formulare un lemma:
Lemma Se $U\subset CC$ è un aperto, allora $|*|$ non assume massimo su $U$. Dimostrazione Come dice maurer. Se esistesse $z_0 in U$ tale che $|z_0|>=|z|\ forall z \in U$, prendendo $\lambda>0$ e sufficientemente piccolo avremmo la contraddizione $|z_0|\le(1+lambda)|z_0| \le |z_0|$.
Quindi ogni mappa aperta deve verificare il principio del massimo. E siccome ogni funzione olomorfa non costante è una mappa aperta...
Infatti potremmo formulare un lemma:
Lemma Se $U\subset CC$ è un aperto, allora $|*|$ non assume massimo su $U$. Dimostrazione Come dice maurer. Se esistesse $z_0 in U$ tale che $|z_0|>=|z|\ forall z \in U$, prendendo $\lambda>0$ e sufficientemente piccolo avremmo la contraddizione $|z_0|\le(1+lambda)|z_0| \le |z_0|$.
Quindi ogni mappa aperta deve verificare il principio del massimo. E siccome ogni funzione olomorfa non costante è una mappa aperta...
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