Principio deformazione cammini
Ciao, amici! Il Presilla per dimostrare il principio di deformazione dei cammini, che dice che, se $\gamma_1$ è una curva semplice regolare a tratti orientata positivamente contenuta nella regione interna racchiusa dalla curva $\gamma$ semplice regolare a tratti, di Jordan quindi, e ugualmente orientata e $f$ è analitica sulle curve $\gamma$, $\gamma_1$ e la regiona compresa tra esse, allora $\int_{\gamma}f(z)\text{d}z=\int_{\gamma_1}$, costruisce, fissata una curva $\lambda$ regolare a tratti aperta contenuta nella regione tra $\gamma$ e $\gamma_1$ e con estremi in un punto di ciascuna delle due curve, la curva chiusa \(\eta=\gamma+\lambda+(-\gamma_1)+(-\lambda)\), che è frontiere di un insieme semplicemente connesso $G$ in cui $f$ è analitica e quindi tale che -e questo mi è chiaro- l'integrale di $f$ lungo qualunque curva chiusa regolare a tratti contenuta in esso è nullo. Si considera quindi una curva $\eta_{\epsilon}$ contenuta in $G$, omotopa a $\eta$ e tale che $\lim_{\epsilon \to 0}\eta_{\epsilon}=\eta$.
Non sono certo di che cosa ciò significhi: forse che l'applicazione \(\Gamma:[a,b]\times[0,1]\to\mathbb{C}\) che definisce l'omotopia, cioè tale che \(\forall s\in[a,b]\quad (\Gamma(s,0)=\eta(s)\land \Gamma(s,1)=\eta_{\varepsilon}(s))\), è tale che $\lim_{\epsilon\to 0} \Gamma(s,\epsilon)=\eta(s)$?
Ancora più nebulosa mi risulta quindi la conclusione: il testo riporta\[\int_{\eta}f(z)\text{d}z=\lim_{\varepsilon\to 0}\int_{\eta_{\varepsilon}}f(z)\text{d}z=\lim_{\varepsilon\to 0}0=0\]Ora, mi è chiaro, come dicevo, che $\int_{\eta_{\epsilon}}f(z)\text{d}z=0$[nota]E anche che $\lim_{\epsilon\to 0}=0$
[/nota], ma che cosa significa, rigorosamente parlando, $\lim_{\epsilon\to 0}\int_{\eta_{\varepsilon}}f(z)\text{d}z$ e perché esso è uguale a $\int_{\eta}f(z)\text{d}z$? Significa forse $\lim_{\epsilon\to 0}\int_{\eta_{\varepsilon}}f(z)\text{d}z=\lim_{\epsilon\to 0}\int_{a}^{b}f(\Gamma(s,\epsilon))\frac{\partial \Gamma(s,\epsilon)}{\partial s}\text{d}s$? Se sì, che cosa garantisce che tale limite converga a $\int_{\eta}f(z)\text{d}z$?
Intuitivamente, beh, se la curva si avvicina arbitrariamente all'altra... ma è triste e frustrante accontentarsi di un'ìidea intuitiva...
$\infty$ grazie a tutti!
Non sono certo di che cosa ciò significhi: forse che l'applicazione \(\Gamma:[a,b]\times[0,1]\to\mathbb{C}\) che definisce l'omotopia, cioè tale che \(\forall s\in[a,b]\quad (\Gamma(s,0)=\eta(s)\land \Gamma(s,1)=\eta_{\varepsilon}(s))\), è tale che $\lim_{\epsilon\to 0} \Gamma(s,\epsilon)=\eta(s)$?
Ancora più nebulosa mi risulta quindi la conclusione: il testo riporta\[\int_{\eta}f(z)\text{d}z=\lim_{\varepsilon\to 0}\int_{\eta_{\varepsilon}}f(z)\text{d}z=\lim_{\varepsilon\to 0}0=0\]Ora, mi è chiaro, come dicevo, che $\int_{\eta_{\epsilon}}f(z)\text{d}z=0$[nota]E anche che $\lim_{\epsilon\to 0}=0$
[/nota], ma che cosa significa, rigorosamente parlando, $\lim_{\epsilon\to 0}\int_{\eta_{\varepsilon}}f(z)\text{d}z$ e perché esso è uguale a $\int_{\eta}f(z)\text{d}z$? Significa forse $\lim_{\epsilon\to 0}\int_{\eta_{\varepsilon}}f(z)\text{d}z=\lim_{\epsilon\to 0}\int_{a}^{b}f(\Gamma(s,\epsilon))\frac{\partial \Gamma(s,\epsilon)}{\partial s}\text{d}s$? Se sì, che cosa garantisce che tale limite converga a $\int_{\eta}f(z)\text{d}z$?Intuitivamente, beh, se la curva si avvicina arbitrariamente all'altra... ma è triste e frustrante accontentarsi di un'ìidea intuitiva...
$\infty$ grazie a tutti!
Risposte
Eh, diciamo che c'è sotto un teorema di passaggio al limite sotto il segno d'integrale. Sono quelle giustificazioni tecniche che si tacciono spesso. 
L'idea potrebbe essere quella di prendere una successione $\epsilon_n$ tale che $\lim_{n} \epsilon_n = 0$ e utilizzare la convergenza uniforme della successione integranda (sappimi dire se è vero...).
L'idea potrebbe essere quella di prendere una successione $\epsilon_n$ tale che $\lim_{n} \epsilon_n = 0$ e utilizzare la convergenza uniforme della successione integranda (sappimi dire se è vero...).
$f(\Gamma(s,\epsilon)) \cdot \frac{\partial \Gamma(s,\epsilon)}{\partial s} = \frac{\partial}{\partial s} ( f(\Gamma(s, \epsilon)) \cdot \Gamma(s,\epsilon) ) - \frac{\partial f(\Gamma(s, \epsilon)) }{\partial s}\cdot \Gamma(s,\epsilon)$.
Quindi basta dimostrare che
\[ \lim_{ n \to \infty} \int_a^b \frac{\partial f(\Gamma(s, \epsilon_n)) }{\partial s}\cdot \Gamma(s,\epsilon_n) ds = \int_a^b \lim_{ n \to \infty} \frac{\partial f(\Gamma(s, \epsilon_n)) }{\partial s}\cdot \Gamma(s,\epsilon_n) ds \;.\]
Ma qui mi sembra facile, perché
\[ \left | \frac{\partial f(\Gamma(s, \epsilon_n)) }{\partial s} \cdot \Gamma(s,\epsilon_n) \right | \le \max_{G \cup \Gamma} \left | \frac{\partial f }{\partial s} \right | \cdot \max_{s , \epsilon} |\Gamma | \]
Siccome $\partial_s f$ è continua e $\Gamma : [a,b] \times [0,1] \rightarrow \{ z : |z| \le R \} \subseteq CC$ per un certo $R$ sufficientemente grande, si può andare di convergenza dominata. Correggimi se sbaglio...
Quindi basta dimostrare che
\[ \lim_{ n \to \infty} \int_a^b \frac{\partial f(\Gamma(s, \epsilon_n)) }{\partial s}\cdot \Gamma(s,\epsilon_n) ds = \int_a^b \lim_{ n \to \infty} \frac{\partial f(\Gamma(s, \epsilon_n)) }{\partial s}\cdot \Gamma(s,\epsilon_n) ds \;.\]
Ma qui mi sembra facile, perché
\[ \left | \frac{\partial f(\Gamma(s, \epsilon_n)) }{\partial s} \cdot \Gamma(s,\epsilon_n) \right | \le \max_{G \cup \Gamma} \left | \frac{\partial f }{\partial s} \right | \cdot \max_{s , \epsilon} |\Gamma | \]
Siccome $\partial_s f$ è continua e $\Gamma : [a,b] \times [0,1] \rightarrow \{ z : |z| \le R \} \subseteq CC$ per un certo $R$ sufficientemente grande, si può andare di convergenza dominata. Correggimi se sbaglio...
"Seneca":Già: se \((f_n)\), con \(f_n\in\mathcal{C}[a,b]\quad\forall n\in\mathbb{N}\), converge uniformemente a $f$ vale $\int_{a}^{b}f(x)\text{d}x=\lim_{n}\int_{a}^{b}f_n(x)\text{d}x$.
Eh, diciamo che c'è sotto un teorema di passaggio al limite sotto il segno d'integrale.
Tuttavia non ero neanche certo che la funzione integranda $f(\Gamma(s,\epsilon_n))\frac{\partial \Gamma(s,\epsilon_n)}{\partial s}$ esistesse -e tanto meno della sua continuità- per $\epsilon_n\ne 0$: chiaramente \(\Gamma(s,0)=\eta(s)\) e $\eta$ è regolare a tratti e quindi \(\eta=\Gamma(-,0)\) è di classe \(\mathcal{C}^1\) quasi ovunque in $[a,b]$, ma se $\epsilon_n\ne 0$ in che modo possiamo sapere che $\frac{\partial \Gamma(s,\epsilon_n)}{\partial s}$ esiste? Inoltre tale derivata parziale è continua, almeno eccetto un numero finito di punti? Senz'altro esisterebbe e sarebbe continua quasi ovunque se ogni $\eta_{\epsilon_n}$ fosse regolare a tratti.
"Seneca":Direi che\[\lim_{n} \int_{a}^{b} \frac{\partial}{\partial s} ( f(\Gamma(s, \varepsilon_n)) \cdot \Gamma(s,\varepsilon_n) )\text{d}s=\lim_{n}f(\Gamma(b,\varepsilon_n))\Gamma(b,\varepsilon_n) -f(\Gamma(a,\varepsilon_n))\Gamma(a,\varepsilon_n)=f(\Gamma(b,0))\Gamma(b,0) -f(\Gamma(a,0))\Gamma(a,0)=\int_{a}^{b} \frac{\partial}{\partial s} ( f(\Gamma(s, 0)) \cdot \Gamma(s,0) )\text{d}s \]Com'è possibile uguagliare l'ultimo membro a $\int_{a}^{b}\lim_{n} \frac{\partial}{\partial s} ( f(\Gamma(s, \epsilon_n)) \cdot \Gamma(s,\epsilon_n) )\text{d}s$: possiamo dimostrare che $\frac{\partial}{\partial s} ( f(\Gamma(s,-)) \cdot \Gamma(s,-) )$ è continua nella seconda variabile?
Quindi basta dimostrare che\[ \lim_{ n \to \infty} \int_a^b \frac{\partial f(\Gamma(s, \epsilon_n)) }{\partial s}\cdot \Gamma(s,\epsilon_n) ds = \int_a^b \lim_{ n \to \infty} \frac{\partial f(\Gamma(s, \epsilon_n)) }{\partial s}\cdot \Gamma(s,\epsilon_n) ds \;. \]
"Seneca":Questo dimostra la convergenza uniforme, vero? Scusa la mia durezza di comprendonio, ma non capisco che passaggio logico c'è tra la disuguaglianza e la convergenza uniforme.
\[ \left | \frac{\partial f(\Gamma(s, \epsilon_n)) }{\partial s} \cdot \Gamma(s,\epsilon_n) \right | \le \max_{G \cup \Gamma} \left | \frac{\partial f }{\partial s} \right | \cdot \max_{s , \epsilon} |\Gamma | \]
"Seneca":In effetti sappiamo che $f$ è analitica e quindi continua in tutto $G\cup\{\eta\}$. Ora, si può provare che una funzione analitica in un aperto $G$ è infinitamente derivabile in $G$, ma il mio libro dimostra tale teorema proprio usando il principio di deformazione dei cammini, quindi dovrei evitare questo tipo di circolarità. Se quindi esistesse $\frac{\text{d}f(\Gamma(s, \epsilon_n))}{\text{d}z}\frac{\partial \Gamma(s, \epsilon_n)}{\partial s}$ con entrambe le derivate del prodotto funzioni continue, tale prodotto definirebbe una funzione continua uguale a $\partial_s f$, ma di \(f'(\Gamma(-, \epsilon_n))\) non so come assumere la continuità, visto che non posso assumere quella di \(f'\). Quanto a $\partial_s \Gamma$, possiamo essere certi che esista e sia continua per $\epsilon_n\ne 0$, come detto sopra, giusto?
Siccome $ \partial_s f $ è continua
Grazie di cuore di tutto!!!!!
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