Primo teorema sul limite del prodotto.
Buongiorno,
Ho un dubbio sulla dimostrazione del primo teorema sul limite del prodotto, cioè che riguarda la prima parte della dimostrazione.
Vi riporto l'enunciato:
Siano X un sottoinsieme non vuoto di $mathbb{R}$ , e sia $x_0 in mathbb{R*}$ un punto di accumulazione per X, $l_1 , l_2$ ed $f:X to mathbb{R},g:X to mathbb{R}$ tali che
$lim_{x to x_0} f(x)=l_1 lim_{x to x_0} g(x)=l_2$
Allora esiste anche il limite di $fg$ in $x_0$ e si ha $lim_{x to x_0}fg=l_1l_2$
All'inizio della dimostrazione fa notare che \(\displaystyle |g(x)|\le M_0 \) cioè che risulti limitata.
Mi chiedo ma questa osservazione a cosa serve nella dimostrazione?
Vi dico quello penso ma non ne sono convinto:
Quando diciamo che il $lim_{x to x_0}fg=l_1l_2$ non si sa a priori se la quantità $l_1l_2$ è finita oppure no, chi lo stabilisce è proprio la stima della funzione \(\displaystyle g\).
Cordiali saluti.
Ho un dubbio sulla dimostrazione del primo teorema sul limite del prodotto, cioè che riguarda la prima parte della dimostrazione.
Vi riporto l'enunciato:
Siano X un sottoinsieme non vuoto di $mathbb{R}$ , e sia $x_0 in mathbb{R*}$ un punto di accumulazione per X, $l_1 , l_2$ ed $f:X to mathbb{R},g:X to mathbb{R}$ tali che
$lim_{x to x_0} f(x)=l_1 lim_{x to x_0} g(x)=l_2$
Allora esiste anche il limite di $fg$ in $x_0$ e si ha $lim_{x to x_0}fg=l_1l_2$
All'inizio della dimostrazione fa notare che \(\displaystyle |g(x)|\le M_0 \) cioè che risulti limitata.
Mi chiedo ma questa osservazione a cosa serve nella dimostrazione?
Vi dico quello penso ma non ne sono convinto:
Quando diciamo che il $lim_{x to x_0}fg=l_1l_2$ non si sa a priori se la quantità $l_1l_2$ è finita oppure no, chi lo stabilisce è proprio la stima della funzione \(\displaystyle g\).
Cordiali saluti.
Risposte
Ciao galles90,
A mio parere basta osservare, dalla definizione di limite di funzione che: $ AAx_n->x_0, $ $ x_ninX, $ $ x_n!=x_0 $ $ AAninN=>f(x_n)->l_1, g(x_n)->l2 $
Da qui basta applicare la dimostrazione per i limiti di successione, da cui risulta $ f(x_n)*g(x_n)->l_1l_2=>f(x)*g(x)->l_1l_2 $
A mio parere basta osservare, dalla definizione di limite di funzione che: $ AAx_n->x_0, $ $ x_ninX, $ $ x_n!=x_0 $ $ AAninN=>f(x_n)->l_1, g(x_n)->l2 $
Da qui basta applicare la dimostrazione per i limiti di successione, da cui risulta $ f(x_n)*g(x_n)->l_1l_2=>f(x)*g(x)->l_1l_2 $
Ciao papercut,
grazie per la risposta.
Anche nella dimostrazione sul limite del prodotto di successioni, c'è questo passaggio.
Il mio dubbio è proprio capire a cosa serve questa osservazione, nella dimostrazione.
La mia supposizione è :
viene fatta questa osservazione, perché a priori non possiamo dire che il limite del prodotto è uguale al prodotto dei limiti.
Invece dopo fatta la dimostrazione abbiamo le carte in regola per dirlo.
Tu come dici ?
Ciao
grazie per la risposta.
Anche nella dimostrazione sul limite del prodotto di successioni, c'è questo passaggio.
Il mio dubbio è proprio capire a cosa serve questa osservazione, nella dimostrazione.
La mia supposizione è :
viene fatta questa osservazione, perché a priori non possiamo dire che il limite del prodotto è uguale al prodotto dei limiti.
Invece dopo fatta la dimostrazione abbiamo le carte in regola per dirlo.
Tu come dici ?
Ciao
Come puoi notare nella dimostrazione, le due successioni risultano per ipotesi convergenti, essendo convergenti segue che esse sono anche limitate, ora posso supporre che la limitatezza in questo caso di $ g(x) $ e quindi di $ g(x_n) $ sia utilizzate nella dimostrazione.
Infatti:
Supponiamo di avere due successioni $ f(x_n) $ e $ g(x_n) $ tali che $ f(x_n)->l_1 $ e $ g(x_n)->l_2 $ con $ l_1,l_2inRR $
Ciò vale a dire che:
1) $ AAepsilon>0, EEnu_1: |f(x_n)-l_1|nu_1 $
2) $ AAepsilon>0, EEnu_2: |g(x_n)-l_2|nu_2 $
Posto $ nu=max{nu_1,nu_2} $ le due relazioni valgono contemporaneamente, ora $ g(x_n)$ essendo convergente è anche limitata ovvero $ EEMinRR $ con $ (M>0) $ $ : |g(x_n)|<=M, AAninNN $.
Concludiamo dicendo che $ AAn>nu $
$ |f(x_n)g(x_n)-l_1l_2|=|f(x_n)g(x_n)+l_1g(x_n)-l_1g(x_n)-l_1l_2|=|g(x_n)(f(x_n)-l_1)+l_1(g(x_n)-l_2)|<=|g(x_n)|*|f(x_n)-l_1|+|l_1|*|g(x_n)-l_2|<=M*epsi+|l_1|*epsi=epsi*(M+|l_1|) $.
Infatti:
Supponiamo di avere due successioni $ f(x_n) $ e $ g(x_n) $ tali che $ f(x_n)->l_1 $ e $ g(x_n)->l_2 $ con $ l_1,l_2inRR $
Ciò vale a dire che:
1) $ AAepsilon>0, EEnu_1: |f(x_n)-l_1|
2) $ AAepsilon>0, EEnu_2: |g(x_n)-l_2|
Posto $ nu=max{nu_1,nu_2} $ le due relazioni valgono contemporaneamente, ora $ g(x_n)$ essendo convergente è anche limitata ovvero $ EEMinRR $ con $ (M>0) $ $ : |g(x_n)|<=M, AAninNN $.
Concludiamo dicendo che $ AAn>nu $
$ |f(x_n)g(x_n)-l_1l_2|=|f(x_n)g(x_n)+l_1g(x_n)-l_1g(x_n)-l_1l_2|=|g(x_n)(f(x_n)-l_1)+l_1(g(x_n)-l_2)|<=|g(x_n)|*|f(x_n)-l_1|+|l_1|*|g(x_n)-l_2|<=M*epsi+|l_1|*epsi=epsi*(M+|l_1|) $.
Io sto studiando i limiti di funzioni e non di successioni
La dimostrazione bene o male l'ho capita, non ho grosse difficolta, eccetto questa condizione che mette all'inizio, di cui vorrei capire il senso.
Cioè il senso di questa relazione \(\displaystyle |g(x)|\le M_0 \) lo so, cioè so che significa, ma non so a che cosa può servire nella dimostrazione.
La dimostrazione bene o male l'ho capita, non ho grosse difficolta, eccetto questa condizione che mette all'inizio, di cui vorrei capire il senso.
Cioè il senso di questa relazione \(\displaystyle |g(x)|\le M_0 \) lo so, cioè so che significa, ma non so a che cosa può servire nella dimostrazione.
"galles90":
Io sto studiando i limiti di funzioni e non di successioni
Lo so, ho solo dimostrato il prodotto mediante le successioni.
"Papercut":
Definizione di limite di funzione che: $ AAx_n->x_0, $ $ x_ninX, $ $ x_n!=x_0 $ $ AAninN=>f(x_n)->l_1, g(x_n)->l2 $
Posso sapere come il tuo libro lo dimostra?
Data $f:A->RR$ e sia $x_0$ di accumulazione per $A$
Se $existsl inRR:lim_(x->x_0)f(x)=l$ allora $f$ è limitata in un intorno di $x_0$
Nella dimostrazione agisce nel seguente modo:
Poniamo $f->_(x_0) l_1$ e $g->_(x_0) l_2$
[size=150]$|fg-l_1l_2|=|fg-fl_2+fl_2-l_1l_2|leq|f|*|g-l_2|+|l_2|*|f-l_1|$[/size]
La quantità $|f|*|g-l_2|+|l_2|*|f-l_1|0$ per entrambe e preso $delta=min{delta_1,delta_2}$ in modo che quella condizione valga per entrambe contemporaneamente.
Ora sappiamo che, per il teorema precedente, esiste un intorno di $x_0$ in cui $f$ è limitata. Ovvero esiste un $delta_3>0$ che esiste $M>0$ per cui $|f|leqM,forall x inB(x_0,delta_3)setminus{x_0}capA$
Quindi posto $delta_4=min{delta,delta_3}$ si ottiene
$|fg-l_1l_2|<(M+l_2)epsilon$
Ora a me personalmente questa dimostrazione non piace molto poiché nel trovare quel $M$ usiamo un delta che potrebbe cambiarci la dipendenza. Se invece consideriamo la disuguaglianza di Lipschitz del valore assoluto
$||f|-|l_1||<|f-l_1| |f|
$x inA:0<|x-x_0||fg-l_1l_2|
Il problema è che poi nella dimostrazione ti troverai sempre a dover maggiorare $|f|$ oppure $|g|$ quindi devi fare in un modo tale da arrivare alla tesi, ma anche che il $delta>0$ sia un $delta$ dipendente da $epsilon$
Se $existsl inRR:lim_(x->x_0)f(x)=l$ allora $f$ è limitata in un intorno di $x_0$
Nella dimostrazione agisce nel seguente modo:
Poniamo $f->_(x_0) l_1$ e $g->_(x_0) l_2$
[size=150]$|fg-l_1l_2|=|fg-fl_2+fl_2-l_1l_2|leq|f|*|g-l_2|+|l_2|*|f-l_1|$[/size]
La quantità $|f|*|g-l_2|+|l_2|*|f-l_1|
Ora sappiamo che, per il teorema precedente, esiste un intorno di $x_0$ in cui $f$ è limitata. Ovvero esiste un $delta_3>0$ che esiste $M>0$ per cui $|f|leqM,forall x inB(x_0,delta_3)setminus{x_0}capA$
Quindi posto $delta_4=min{delta,delta_3}$ si ottiene
$|fg-l_1l_2|<(M+l_2)epsilon$
Ora a me personalmente questa dimostrazione non piace molto poiché nel trovare quel $M$ usiamo un delta che potrebbe cambiarci la dipendenza. Se invece consideriamo la disuguaglianza di Lipschitz del valore assoluto
$||f|-|l_1||<|f-l_1|
$x inA:0<|x-x_0|
Il problema è che poi nella dimostrazione ti troverai sempre a dover maggiorare $|f|$ oppure $|g|$ quindi devi fare in un modo tale da arrivare alla tesi, ma anche che il $delta>0$ sia un $delta$ dipendente da $epsilon$
Questa è grosso modo la stessa domanda che ponesti tempo fa parlando di limiti di successioni. In fondo le due nozioni di limite sono la stessa cosa.
Papercut è simile a quella che ha riportato anto_zoolander.
Si dissonance più o meno si
Quindi anto_zoolander, quindi questa condizione che mette a priori \(\displaystyle |g(x)|\le M_0 \) , è collegata con:
perché non risulta maggiorata per la presenza di $f$ ?
Si dissonance più o meno si
Quindi anto_zoolander, quindi questa condizione che mette a priori \(\displaystyle |g(x)|\le M_0 \) , è collegata con:
"anto_zoolander":
La quantità $ |f|*|g-l_2|+|l_2|*|f-l_1| < epsilon(|f|+|l_2|) $ deve ancora essere maggiorata.
perché non risulta maggiorata per la presenza di $f$ ?
Eh ma la presenza di $f$ ci da fastidio. Vogliamo che quella maggiorazione sia data in termini di un numero e che non ci sia una funzione.
Così sai solo che scelto un $epsilon>0$ esiste un $delta>0$ per cui
[size=160]$x inDom(f,g):0<|x-x_0| |fg-l_1l_2|
Quindi non possiamo concludere così che $fg$ appartiene a un intorno di $l_1l_2$.
Così sai solo che scelto un $epsilon>0$ esiste un $delta>0$ per cui
[size=160]$x inDom(f,g):0<|x-x_0|
Quindi non possiamo concludere così che $fg$ appartiene a un intorno di $l_1l_2$.
Perfetto ci sono quasi, sei stato chiaro 
quando dici abbiamo fissato un solo \(\displaystyle \epsilon \) , noi potremmo fissare anche due intorni diversi ?
perché sul mio libro i due intorni sono diversi, ma penso che sia dovuto al fatto che l'autore si vuole ricondurre diciamo alla notazione "standard" di limite.
quando dici abbiamo fissato un solo \(\displaystyle \epsilon \) , noi potremmo fissare anche due intorni diversi ?
perché sul mio libro i due intorni sono diversi, ma penso che sia dovuto al fatto che l'autore si vuole ricondurre diciamo alla notazione "standard" di limite.
Allora vediamo se riesco a farti ‘vedere’ la situazione.
Fissando uno stesso $epsilon>0$ sappiamo che esistono $delta_1>0$ e $delta_2>0$ che in genere sono distinti. L’unica cosa che possiamo fissare in egual modo è $epsilon$ poiché è arbitrario.
Ora le condizioni $|f(x)-l_1|
$f(B(x_0,delta_1)setminus{x_0}capX)subseteqB(l_1,epsilon)$
$g(B(x_0,delta_2)setminus{x_0}capX)subseteqB(l_2,epsilon)$
Di fatto questa forse è la definizione più formale che dovrebbe darsi
Chiaramente preso $delta=min{delta_1,delta_2}$
$f(B(x_0,delta)setminus{x_0}capX)subseteqB(l_1,epsilon)$
$g(B(x_0,delta)setminus{x_0}capX)subseteqB(l_2,epsilon)$
Allora due appunti:
$•$ i numeri $delta_1,delta_2$ sono in funzione di uno stesso $epsilon$ quindi anche $delta=min{delta_1,delta_2}$ dipenderà da $epsilon$ che è quanto ci serve in fondo, visto che nella definizione di limite il delta deve dipendere dalla scelta di $epsilon$ scelto in precedenza.
$•$ quindi fissiamo $epsilon>0$ troviamo $delta_1,delta_2$ dipendenti da $epsilon$ e poniamo $delta=min{delta_1,delta_2}$ che dipenderà a sua volta da $epsilon$.
È sempre possibile farlo? Lo stesso $epsilon$ possiamo chiaramente fissarlo, e i due $delta_k$ li troviamo certamente. Chiaramente sarà $delta_1leqdelta_2$ o $delta_2leqdelta_1$. Se sono uguali, non si pone il problema, se sono diversi chiaramente possiamo prendere sempre ‘quello più piccolo’, non c’è nulla che ce lo vieta.
L’idea è di mostrare che questo $delta$ ci da la proprietà che
$f*g(B(x_0,delta)setminus{x_0}capX)subseteqB(l_1l_2,epsilon_1)$
Come abbiamo visto siamo riusciti a giungere al fatto che $|fg-l_1l_2|
Ponendo $r(epsilon)=epsilon^2+epsilon(|l_1|+|l_2|)$ otteniamo una biiezione $r:(0,+infty)->(0,+infty)$ questo ci permette di dire che per quanto fissiamo arbitrariamente $r in(0,+infty)$ troviamo anche $epsilon$ pertanto nulla ci vieta di scrivere
$forallr>0,existsdelta>0:f(B(x_0,delta)setminus{x_0}capX)subseteqB(l_1l_2,r)$
Di fatto esplicitando $epsilon(r)$ troviamo $epsilon$ in funzione di un arbitrario $r$ e quindi tutto diventa dipendente da $r$, il che ci porta pedantemente a concludere nel modo che volevamo.
È tutta una questione di trattare ‘bene’ le dipendenze.
Fissando uno stesso $epsilon>0$ sappiamo che esistono $delta_1>0$ e $delta_2>0$ che in genere sono distinti. L’unica cosa che possiamo fissare in egual modo è $epsilon$ poiché è arbitrario.
Ora le condizioni $|f(x)-l_1|
$f(B(x_0,delta_1)setminus{x_0}capX)subseteqB(l_1,epsilon)$
$g(B(x_0,delta_2)setminus{x_0}capX)subseteqB(l_2,epsilon)$
Di fatto questa forse è la definizione più formale che dovrebbe darsi
Chiaramente preso $delta=min{delta_1,delta_2}$
$f(B(x_0,delta)setminus{x_0}capX)subseteqB(l_1,epsilon)$
$g(B(x_0,delta)setminus{x_0}capX)subseteqB(l_2,epsilon)$
Allora due appunti:
$•$ i numeri $delta_1,delta_2$ sono in funzione di uno stesso $epsilon$ quindi anche $delta=min{delta_1,delta_2}$ dipenderà da $epsilon$ che è quanto ci serve in fondo, visto che nella definizione di limite il delta deve dipendere dalla scelta di $epsilon$ scelto in precedenza.
$•$ quindi fissiamo $epsilon>0$ troviamo $delta_1,delta_2$ dipendenti da $epsilon$ e poniamo $delta=min{delta_1,delta_2}$ che dipenderà a sua volta da $epsilon$.
È sempre possibile farlo? Lo stesso $epsilon$ possiamo chiaramente fissarlo, e i due $delta_k$ li troviamo certamente. Chiaramente sarà $delta_1leqdelta_2$ o $delta_2leqdelta_1$. Se sono uguali, non si pone il problema, se sono diversi chiaramente possiamo prendere sempre ‘quello più piccolo’, non c’è nulla che ce lo vieta.
L’idea è di mostrare che questo $delta$ ci da la proprietà che
$f*g(B(x_0,delta)setminus{x_0}capX)subseteqB(l_1l_2,epsilon_1)$
Come abbiamo visto siamo riusciti a giungere al fatto che $|fg-l_1l_2|
Ponendo $r(epsilon)=epsilon^2+epsilon(|l_1|+|l_2|)$ otteniamo una biiezione $r:(0,+infty)->(0,+infty)$ questo ci permette di dire che per quanto fissiamo arbitrariamente $r in(0,+infty)$ troviamo anche $epsilon$ pertanto nulla ci vieta di scrivere
$forallr>0,existsdelta>0:f(B(x_0,delta)setminus{x_0}capX)subseteqB(l_1l_2,r)$
Di fatto esplicitando $epsilon(r)$ troviamo $epsilon$ in funzione di un arbitrario $r$ e quindi tutto diventa dipendente da $r$, il che ci porta pedantemente a concludere nel modo che volevamo.
È tutta una questione di trattare ‘bene’ le dipendenze.
Grande, sei stato super chiaro.
grazie
grazie
Figurati 
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo