Primo teorema fondamentale del calcolo integrale
Sapendo che $ \frac{1}{x-x_0}\int_{x_0}^xf(t)dt=0 $, mi è stato detto che tramite il primo teorema del calcolo integrale posso scrivere che $ f(x_0)=lim_{x->x_0}\frac{1}{x-x_0}\int_{x_0}^xf(t)dt=0 $. Il mio problema è che non riesco a riconoscere come è stato applicato qua il teorema. Qualcuno potrebbe spiegarmelo con più chiarezza?
Risposte
Va richiesto che $f$ sia almeno continua in un intervallo compatto contenente $x_0$ e $x$, altrimenti non vale il teorema fondamentale del calcolo integrale.
In tal caso, definiamo $F(x)=\int_{x_0}^x f(t) \text{d}t$: allora è $F(x_0)=0$. Quindi
$$\lim_{x \to x_0} \frac{1}{x-x_0} \int_{x_0}^x f(t) \text{d}t=\lim_{x \to x_0} \frac{\int_{x_0}^x f(t) \text{d}t-0}{x-x_0}$$
$$=\lim_{x \to x_0} \frac{\int_{x_0}^x f(t) \text{d}t-\int_{x_0}^{x_0} f(t) \text{d}t}{x-x_0}=\lim_{x \to x_0} \frac{F(x)-F(x_0)}{x-x_0}$$
Per definizione, l'ultimo limite è la derivata della funzione integrale $F$ in $x_0$; ossia è $F'(x_0)$. Ma la funzione integrale è una primitiva di $f$, pertanto soddisfa $F'(x)=f(x)$ per ogni $x$ nell'aperto corrispondente all'intervallo compatto suddetto. Quindi $F'(x_0)=f(x_0)$.
Infine, il primo limite è nullo perché per ipotesi è nulla la funzione sotto il segno di limite.
In tal caso, definiamo $F(x)=\int_{x_0}^x f(t) \text{d}t$: allora è $F(x_0)=0$. Quindi
$$\lim_{x \to x_0} \frac{1}{x-x_0} \int_{x_0}^x f(t) \text{d}t=\lim_{x \to x_0} \frac{\int_{x_0}^x f(t) \text{d}t-0}{x-x_0}$$
$$=\lim_{x \to x_0} \frac{\int_{x_0}^x f(t) \text{d}t-\int_{x_0}^{x_0} f(t) \text{d}t}{x-x_0}=\lim_{x \to x_0} \frac{F(x)-F(x_0)}{x-x_0}$$
Per definizione, l'ultimo limite è la derivata della funzione integrale $F$ in $x_0$; ossia è $F'(x_0)$. Ma la funzione integrale è una primitiva di $f$, pertanto soddisfa $F'(x)=f(x)$ per ogni $x$ nell'aperto corrispondente all'intervallo compatto suddetto. Quindi $F'(x_0)=f(x_0)$.
Infine, il primo limite è nullo perché per ipotesi è nulla la funzione sotto il segno di limite.
@Mephlip
Bel post! Chiaro, conciso e rigoroso.
Bel post! Chiaro, conciso e rigoroso.
Grazie mille Bokonon 
.
.
Però, a parte la continuità di $f$, c'è un altro problema...
Per quante $x$ vale $1/(x - x_0) int_(x_0)^x f(t)\ "d" t =0$?
Se questa uguaglianza vale per una o "poche" $x$, non si può dedurre nulla sul valore di $ f(x_0)$.
Se invece, come penso, l'uguaglianza vale per ogni $x$ appartenenti ad un certo intorno $I$ di $x_0$, allora non c'è bisogno di usare il TFCI per svolgere l'esercizio, perché il fatto che la media integrale sia identicamente nulla implica che la funzione integrale è identicamente nulla su ogni sottointervallo compatto di $I$, quindi $f$ è identicamente nulla in $I$.
Per quante $x$ vale $1/(x - x_0) int_(x_0)^x f(t)\ "d" t =0$?
Se questa uguaglianza vale per una o "poche" $x$, non si può dedurre nulla sul valore di $ f(x_0)$.
Se invece, come penso, l'uguaglianza vale per ogni $x$ appartenenti ad un certo intorno $I$ di $x_0$, allora non c'è bisogno di usare il TFCI per svolgere l'esercizio, perché il fatto che la media integrale sia identicamente nulla implica che la funzione integrale è identicamente nulla su ogni sottointervallo compatto di $I$, quindi $f$ è identicamente nulla in $I$.
ok grazie. Ma sempre del teorema del calcolo integrale, l'enunciato dice che $ F(x)=\int_a^xf(t)dt $ dove $ F'(x)=f(x) $ mentre il corollario dice che $ \int_a^bf(x)dx=G(b)-G(a) $ dove $ G'(x)=f(x) $. Dal quel che mi sembra di capire $ G(x) $ e $ F(x) $ sono la stessa funzione, ma allora se valuto $ F(x) $ in $ b $ ottengo $ F(b)=\int_a^b f(t)dt $ che è diverso da $ \int_a^b f(t)dt=F(b)-F(a) $. Cosa sto sbagliando?
"Mephlip":
In tal caso, definiamo $F(x)=\int_{x_0}^x f(t) \text{d}t$
Ma $\frac{1}{x-x_0}\int_{x_0}^x f(t) \text{d}t=0$ se e solo se $\int_{x_0}^x f(t) \text{d}t=0$ quindi $F(x)=0$ no?
"FabioA_97":
ok grazie. Ma sempre del teorema del calcolo integrale, l'enunciato dice che $ F(x)=\int_a^xf(t)dt $ dove $ F'(x)=f(x) $ mentre il corollario dice che $ \int_a^bf(x)dx=G(b)-G(a) $ dove $ G'(x)=f(x) $. Dal quel che mi sembra di capire $ G(x) $ e $ F(x) $ sono la stessa funzione [...]
Ma anche no.
Leggi bene gli enunciati dei teoremi e ricordati un po' di fatti base sulle primitive.
"FabioA_97":
[...] ma allora se valuto $ F(x) $ in $ b $ ottengo $ F(b)=\int_a^b f(t)dt $ che è diverso da $ \int_a^b f(t)dt=F(b)-F(a) $. Cosa sto sbagliando?
E quanto vale $F(a)$?
"FabioA_97":
ma allora se valuto $ F(x) $ in $ b $ ottengo $ F(b)=\int_a^b f(t)dt $ che è diverso da $ \int_a^b f(t)dt=F(b)-F(a) $. Cosa sto sbagliando?
Qui credo che c'entri il fatto che, per una funzione $f$ continua su un intervallo $I$, tutte le primitive di tale funzione $f$ si ottengono da una aggiungendo una costante arbitraria; si dimostra poi che la funzione integrale è una primitiva di $f$ e tu, così facendo, ottieni solo il caso particolare della primitiva tale che $F(a)=0$, ignorando il caso più generale in cui non è detto che sia $F(a)=0$ (ossia ignorando tutte le altre primitive ottenibili con l'aggiunta di una costante arbitraria, che generalmente è non nulla). Magari aspetta conferme da utenti più esperti di me.
"FabioA_97":
Ma $\frac{1}{x-x_0}\int_{x_0}^x f(t) \text{d}t=0$ se e solo se $\int_{x_0}^x f(t) \text{d}t=0$ quindi $F(x)=0$ no?
Non credo sia così semplice, ora che leggo l'intervento di gugo penso di essere stato un po' frettoloso e mi ha fatto ricordare che ci sono situazioni un po' più delicate; tipo, credo che con "poche $x$" gugo intendesse "l'insieme delle $x$ per cui vale l'uguaglianza $\frac{1}{x-x_0} \int_{x_0}^x f(t) \text{d}t=0$ è un insieme di misura nulla secondo Lebesgue". Mi pare di ricordare le relazioni che sussistono tra funzioni nulle e i loro integrali nulli valgano, in generale, solo quasi ovunque, che penso sia quello che voleva comunicare gugo col suo intervento. Tuttavia sto andando molto a memoria, non ho mai studiato davvero queste cose e quindi ti consiglio caldamente di aspettare un suo secondo intervento.
"gugo82":
Ma anche no.
In che senso?
"gugo82":
E quanto vale $F(a)$?
Direi $F(a)=0$ ma mi sembra strano che valga sempre che la primitiva valutata nel punto di partenza dell'integrale sia zero
"FabioA_97":
[quote="gugo82"]Ma anche no.
In che senso?[/quote]
Nel senso che ti conviene rileggere gli enunciati dei teoremi.
"FabioA_97":
[quote="gugo82"]E quanto vale $F(a)$?
Direi $F(a)=0$ ma mi sembra strano che valga sempre che la primitiva valutata nel punto di partenza dell'integrale sia zero[/quote]
Le proprietà dell'integrale definito, queste sconosciute...
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo