Primo teorema di Liouville analisi complessa

[Catanzani1]

Salve a tutti,
desideravo un piccolo aiuto nella dimostrazione di questo teorema.

Ipotesi: f(z) analitica e limitata in C.
Tesi: f(z) = cost.

Dim.

Data l'ipotesi di limitatezza di f, si ha che \(\displaystyle \exists M>0 t.c. |f(z)|
Utilizzando la rappresentazione integrale di Cauchy:

\(\displaystyle f'(z) = \frac{1}{2i \pi} \oint_{C_{R}} \frac{f(z')}{(z'-z)^2}\, dz'\)

Facendo il modulo, applicando la disuguaglianza triangolare e poi quella di Darboux posso maggiorare il numeratore incluso il differenziale:


\(\displaystyle f'(z) = \frac{1}{2i \pi} \oint_{C_{R}} \frac{f(z')}{(z'-z)^2}\, dz' \leq \frac{M2\pi R}{2\pi R^2}\) che per R che diverge va a 0.

Il mio problema è come sia possibile maggiorare \(\displaystyle \frac{1}{(z'-z)^2} \leq \frac{1}{R^2}\)

Grazie davvero per il vostro aiuto.
Saluti

Enrico

[dissonance]

Nota che \(z'\) varia sulla circonferenza di centro \(z\) e raggio \(R\).

P.S.: Non ti scordare il modulo. Hai scritto una disuguaglianza con numeri complessi: è una cosa priva di senso ed un errore grave che difficilmente sfugge ad un matematico.