Primo limite. Primo errore?

[Sk_Anonymous]

Buonasera a tutti.

Mi trovo di fronte al primo limite da calcolare nella mia vita e cominciano i miei problemi.

Traccia:

$\lim_{x\to\0}(log^2(1+x)+x)/(x^2+x)$

Il limite si presenta nella forma $0/0$, pertanto passo a L'Hôpital e ottengo:

1. $((1/(x^2+2x+1))(2x+2)+1)/(2x+1)$

2. $((2(x+1))/((x+1)(x+1))+1)/(2x+1)$

Sostituendo ottengo come risultato del limite il valore: 3.

Come verifica ho utilizzato il programma Derive che, piuttosto, mi restituisce come valore del limite il numero: 1.

Non voglio tediare nessuno, però, dal momento che mi sento molto impacciato e insicuro al punto giusto, posso chiedere se il mio procedimento è corretto, se secondo voi ho sbagliato nello sviluppare i calcoli, se ci sono degli accorgimenti che devo tenere presenti durante i calcoli.

Vi ringrazio anticipatamente per l'aiuto

[gugo82]

Derivi male la potenza del logaritmo.
Riprova, facendo bene i calcoli.

[Sk_Anonymous]

Mi correggo.

Procedo bene a questa maniera?

1. $(2(log(1+x))*(1/(1+x))+1)/(2x+1)$

2. $(2*0*1+1)/(0+1)$

3. $1/1 = 1$

[gugo82]

Esattamundo.

[The_Mad_Hatter]

C'è un metodo più semplice secondo me per risolvere questo limite, ovvero con le stime asintotiche, senza scomodare de l'hopital.

per $x->0$, $log(1+x) ~= x$ e $log^2(1+x) ~= x^2$, pertanto il limite dato è uguale a:
$lim_(x->0) (x^2+x)/(x^2+x) = lim_(x->0) 1 = 1$