Primo lemma di Green

[zannas]

ho cercato in internet ma non sono riuscito a trovarlo....
Mi serve perchè non capisco come applicando il I lemma di green al primo membro di:
$-1/2 int_R u \grad^2 u dR + 1/2 int_(\del R) (-u (del u_0)/(del n) + (del u)/(del n) u_0) dGamma$
si ottenga:
$1/2 int_R ((del u)/(del x))^2 +((del u)/(del y))^2 dR - 1/2 int_(del R) u ((del u)/(del n) + (del u_0)/(del n)) dGamma + 1/2 int_(del R) (del u)/(del n) u_0 dGamma$

(sono in bidimensionale con $u$ che soddisfa solo le condizioni al contorno, mentre $u_0$ soddisfa sia le eq al contorno che all'interno del dominio
e quindi visto che $u=u_0$ in $del R$
$1/2 int_R ((del u)/(del x))^2 +((del u)/(del y))^2 dR - 1/2 int_(del R) (del u_0)/(del n) u_0 dGamma$

Grazie

[gugo82]

La formula di Green (che poi altro non è che il teorema della divergenza applicato al campo [tex]$u\ Du=(u\ u_x ,u\ u_y)$[/tex]) ti dice che:

[tex]$\int_R u\ \Delta u \text{ d} x=-\int_R |Du|^2 \text{ d} x+\int_{\partial R} u\ \frac{\partial u}{\partial n} \text{ d} s$[/tex]

(mi scuserai, ma da matematico uso [tex]$\Delta$[/tex] per il laplaciano e [tex]$D$[/tex] per il gradiente).
Quindi ti basta applicare la formula di Green e la proprietà additiva dell'integrale curvilineo per ricondurre la prima formula alla seconda.